计算科学 - 离散化 Neumann 边界条件 - 吾爱随笔录

离散化 Neumann 边界条件

计算科学有限差分边界条件离散化泊松

2021-12-25 10:58:51

我目前正在使用以下具有混合边界条件的泊松方程，包括诺依曼边界条件。

Δ u = f u (x, 0) = g_{1} (x), 0 < x < 1 u (0, y) = g_{2} (y), 0 < y < 1 \partial_{n} u (x, 1 - x) = 0, 0 < x < 1

$\Delta u = f\\ u(x,0) = g_1(x), 0<x<1\\u(0,y) = g_2(y), 0<y<1\\ \partial_n u(x, 1-x) = 0, 0<x<1$

在域上 $\Omega := \{(x,y):\mathbb{R}^2_+:x+y<1\}$

据我所理解， $\partial_n u(x, 1-x)=\nabla u \cdot n$ . 现在我对如何离散化感到有些困惑。如何获得法线向量 $n$ ? 我想我已经看到了使用中心有限差分的离散化，它看起来像这样：

\partial_{n} u_{i, j} = \frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} - u_{i, j - 1}}{2 Δ x}

$\partial_n u_{i,j}= \frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}+u_{i, j+1}-u_{i, j-1}}{2\Delta x}$

但是这种离散化如何解释法线向量 $n$ 在公元前诺伊曼？

另外，在这里我不仅 $\partial_n u(x, y) = 0$ 但 $\partial_n u(x, 1-x) = 0$ . 所以我很困惑如何离散化这个。建议使用 Shortley-Weller 近似来这样做，但我还不太了解它是如何工作的（还没有看到它的实际效果，也找不到关于这种方法在数学上究竟是如何工作的好的文献）。

因此，据我了解，这可能如下所示：

\partial_{n} u (x, 1 - x)_{| Δ x} = \partial_{n} u_{i, 1 - i} = \frac{u_{i + 1, 1 - i} - u_{i - 1, 1 - i}}{2 Δ x} + \frac{u_{i, 2 - i} - u_{i, - i}}{2 (1 - Δ x)}

$\partial_n u(x, 1-x)_{|\Delta x}=\partial_n u_{i,1-i}=\frac{u_{i+1,1-i}-u_{i-1,1-i}}{2\Delta x}+\frac{u_{i, 2-i}-u_{i, -i}}{2(1-\Delta x)}$

它是否正确？这如何在算法中实现？

将不胜感激一些帮助。

1个回答

您显示的公式不是诺伊曼边界条件的通用公式，它已经投影到 $\mathbf{n}$ . 要看到这一点，请注意有限差分近似中的梯度（具有中心差异）由下式给出：

\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \approx (\frac{f_{i + 1, j} - f_{i - 1, j}}{2 Δ x}, \frac{f_{i, j + 1} - f_{i, j - 1}}{2 Δ y})

$\boldsymbol{\nabla}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\approx\left(\frac{f_{i+1,j}-f_{i-1,j}}{2\Delta x}, \frac{f_{i,j+1}-f_{i,j-1}}{2\Delta y}\right)$

NBC 的边界是：（注意：我认为集合是封闭的，因为中的集合边界是封闭的，并且您使用的集合既不是开放的也不是封闭的）。该边界的图如下所示。如您所见，向量垂直于直线，很容易看出在这种情况下（因为它是斜率为 1 的直线）。

Ω = {(x, y) \in R^{2} : y = 1 - x, 0 \leq x \leq 1}

$\Omega=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: y=1-x, 0\leq x\leq 1\}$

R^{n}

$\mathbb{R}^n$

n = (1, 1)

$\mathbf{n}=(1,1)$

Δ y = Δ x

$\Delta y = \Delta x$

最后，我们验证您发布的公式：

\nabla u \cdot n \approx (\frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j}}{2 Δ x}, \frac{u_{i, j + 1} - u_{i, j - 1}}{2 Δ y}) \cdot (1, 1) = (\frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j}}{2 Δ x}, \frac{u_{i, j + 1} - u_{i, j - 1}}{2 Δ x}) \cdot (1, 1) = \frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j} + u_{i, j + 1} - u_{i, j - 1}}{2 Δ x}

$\boldsymbol{\nabla}u\cdot\mathbf{n}\approx \left(\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}, \frac{u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2\Delta y}\right)\cdot(1,1)=\left(\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}, \frac{u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2\Delta x}\right)\cdot(1,1)=\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}+u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2\Delta x}$

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