计算科学 - 在 FEM 中施加零均值条件 - 吾爱随笔录

在 FEM 中施加零均值条件

计算科学有限元椭圆pde

2021-12-14 10:57:59

我想解决形式的周期性椭圆方程

- \nabla \cdot (A \nabla u) = - \nabla \cdot F

$-\nabla\cdot(A\nabla u)=-\nabla\cdot F$ 在

Y = [0, 2 π)^{d}

$Y=[0,2\pi)^d$ 使用 FreeFem++，其中

A

$A$ 和

F

$F$ 是

Y

$Y$ -周期性的。解空间为

H_{p e r}^{1} (Y) / R

$H^1_{per}(Y)/\mathbb{R}$ ，也可以看作是周期空间

H^{1}

$H^1$ 均值为零的函数。通常如何在 FEM 中施加零均值条件？

1个回答

有两种方法可以解决这个问题。

第一种方法由拉格朗日乘数给出，并在此处得到很好的解释。您必须解决一个扩展线性系统，在该系统中将解决方案强制为零均值。

第二种可能更简单的方法是修改系统，使域内的一个节点值被钳制为零，即，你强加 $u_{i^*} = 0$ 对于一些索引 $i^*$ ，在哪里 $\mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_N)^\top$ 是离散解的节点值向量 $u_h$ . 这是通过替换等式获得的 $u_{i^*} = 0$ 在 $i^*$ -您的 FEM 线性系统的第行。然后，您的最终解决方案 $u_h$ 获得为

u_{h} \leftarrow u_{h} - \frac{1}{| Y |} \int_{Y} u_{h},

$u_h \leftarrow u_h - \frac{1}{|Y|}\int_{Y} u_h,$ 在哪里

| Y | = (2 π)^{d}

$|Y| = (2\pi)^d$ ，这是微不足道的零均值。

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