在最一般的情况下，您希望同时求解弹性和热传导方程，通常称为强耦合模型。

更常见的是人们使用弱耦合模型，您首先计算温度升高（$\Delta T$) 为您身体中的每个点，然后您求解以下方程组，其中我使用索引表示法：

• 平衡方程

$$\sigma_{ij, j} + b_i = 0\, ,$$

$\sigma$是应力张量，$b$是体力向量。

• 本构方程

$$\sigma_{ij} = \frac{E}{1 + \nu}\left[\epsilon_{ij} + \frac{\nu}{1 - 2\nu}\epsilon_{kk} \delta_{ij}\right] - \frac{E \alpha \Delta T}{1 - 2\nu}\delta_{ij}\, ,$$

$E$是杨氏模量，$\nu$泊松系数，$\epsilon$应变张量，$\Delta T$是温度升高，$\alpha$线性热膨胀系数，和$\delta_{ij}$是克罗内克三角洲。

• 无穷小应变定义

$$\epsilon_{ij} = \frac{1}{2}\left(u_{i,j} + u_{j, i}\right)\, ,$$

$u$是位移向量。

您可以根据位移编写方程，这是 FEM 软件中最常见的公式。在这种情况下，您可以认为温度的变化会在微分方程中添加一个体力。

作为最后的评论，最简单的情况是考虑$\Delta T$在您的整个域中保持统一。