计算科学 - 来自预先计算的点的球体积积分 - 哪种算法最好？ - 吾爱随笔录

计算科学 C++ 正交一体化

2021-12-05 11:44:40

我需要一种快速准确的方法来计算 3d 球面体积积分。

我已经预先计算了高精度的数据，在每个集成步骤之前只需要一些简单的操作 - 换句话说，函数调用大多只是数组查找和乘法，因此相对便宜。

数据在球极坐标中均匀分布：θ 和 phi 每度 4 个样本，500 个径向样本。

我需要良好的精度，但我还需要执行几百万次这样的积分，所以速度是一个重要的问题。

什么算法最适合这个问题？

链接到 C++ 中的实现的奖励积分！

2个回答

所以你想评估

F = \int_{0}^{r} \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} f (r, ϕ, θ) r^{2} \sin (θ) d r d ϕ d θ

$F=\int_0^r \int_0^{2\pi} \int_{0}^\pi f(r,\phi,\theta) \, r^2 \, \sin (\theta) \ dr \, d\phi \, d\theta$ 并且您的函数在等距网格点、和上可用。称呼

f

$f$

r_{i}

$r_i$

ϕ_{j}

$\phi_j$

θ_{k}

$\theta_k$

f_{i j k} = f (r_{i}, ϕ_{j}, θ_{k})

$f_{ijk} = f(r_i, \phi_j, \theta_k)$

简单的方法就是使用梯形规则（我将省略端点处的一半）：

F \approx \sum_{i j k} f_{i j k} r_{i}^{2} \sin (θ_{i})

$F \approx \sum_{ijk}f_{ijk} \, r_i^2 \, \sin(\theta_i)$

...或者，如果您想要更高阶，请使用另一个 Newton-Cotes 公式。

只需要注意一次。有关其他方法，请参阅评论部分。

编辑：我刚刚注意到你在要求“最好”的方法，所以这对你来说可能会很无聊。

如果子体积均匀分布并且您可以假设函数在其中是恒定的，您可能只需要一个查找表以查找半径中的体积大小并进行加权求和。如果假设不正确，那么它可能不会很准确:)

其它你可能感兴趣的问题