我自己还没有解 HJB 方程，但是根据我对其他 PDE 的经验，我可以想到两件事你可以尝试。

1. 使用“逆风”近似$J_x$，而不是中心差分方案。这$x J_x$等式中的术语表明，随着时间的推移，信息在系统中从左到右流动（假设$x > 0$）。因此，更有意义的是构建$J_x$近似使用$J_i$和它左边的节点，因为那是信息的来源。最简单的近似是：

   $$J_x \approx \frac{1}{h}\left(J_i - J_{i-1}\right)$$ 但是，我不确定这个论点如何适用于非线性$(-J_x^2)$学期。该术语上的负号表示从右到左的方向，因此您可能可以尝试使用右偏近似$J_x$那里。

2. 使用隐式时间推进方案，而不是显式方案。明确的时间推进方案，例如您正在使用的方案，具有严重限制您可以采取的时间步长大小的稳定性条件。事实上，如果您将时间步长减小一些较大的因素，您的方法很有可能会起作用（或存活更长时间）。但是对于许多实际问题，这种时间步长约束实在是太严格了，因为它增加了获得最终解决方案所需的成本/时间。

   相反，对于许多问题，隐式方法是无条件稳定的，这意味着对于您选择的任何时间步长，解决方案都是有界的。然而，没有免费的午餐。额外的稳定性是以必须在每个时间步求解方程组为代价的。这是因为所有解的未知数 ($J_i$'s) 参与空间离散化现在在时间进行评估$j-1$, 而不是在时间$j$. 为了更清楚，这是使用隐式时间推进方法的离散方程的样子，

   $$J_i^{j-1} - J_i^{j} = \frac{k}{4h^2} \left[J_{i+1}^{j-1} - J_{i-1}^{j-1} \right]^2 + \frac{k}{\textbf{2}h} \left[J_{i+1}^{j-1} - J_{i-1}^{j-1} \right] x_{i}$$

   请注意，右侧的所有术语都是在 time 评估的$(j-1)$，所以你的解决方案未知$J_{i-1}^{j-1}, J_i^{j-1}, J_{i+1}^{j-1}..$等式出现在等式的两边。上面的方程代表了一个非线性方程组，需要在每个时间步求解，可能使用类似于牛顿法的方法。

PS我认为您在等式的最后一项中缺少2倍。中心差异为$x J_x$需要除以$2h$.