计算科学 - 将 3D 有限差分代码的域从立方体更改为球体 - 吾爱随笔录

我有一个明确的 FD（有限差分）代码，用于长方体域中 PDE 上的扩散/热，它工作正常。我想更新离散方程并更改代码以解决球体上的问题。从一些初步搜索中，我似乎无法在使用直角坐标的球体上找到任何 FD 示例。

我在球坐标中看到了一些，但这可能需要对代码进行太多更改（如果这是唯一的方法，请建议如何最好地进行）

\frac{\partial U}{\partial t} = α \nabla^{2} U i n R^{3}

$\frac{\partial U}{\partial t} = \alpha \nabla^2U\quad in\enspace\mathbb{R}^3$

U (x, y, z, 0) = T

$U(x,y,z,0)=T$ 其中 T 是一个常数，也是应用于立方体所有面/球体表面积的边界条件。

问题：是否可以将我的代码调整为立方体，在球体上工作并保持直角坐标？如果是这样，我该如何处理？

编辑：（更多上下文）这是一个均质热方程，其中边界条件是应用于球体整个表面积的恒定温度（例如 T=100 度）（对于立方体，它也应用于所有 6 个面） . 初始条件是表面上的相同热源，而球体的整个内部最初为零。