计算科学 - 欧拉方程的多点轴对称边界条件 - 吾爱随笔录

我正在以保守形式求解二维轴对称欧拉方程：

\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial F (U)}{\partial x} + \frac{\partial G (U)}{\partial r} = H (U)

$\frac{\partial U}{\partial t} + \frac{\partial F(U)}{\partial x} + \frac{\partial G(U)}{\partial r} = H(U)$ 在哪里

U = (\begin{matrix} r ρ \\ r ρ u \\ r ρ v \\ r e \end{matrix}), F (U) = (\begin{matrix} r ρ u \\ r (ρ u^{2} + p) \\ r ρ u v \\ r (e + p) u \end{matrix}), G (U) = (\begin{matrix} r ρ v \\ r ρ u v \\ r (ρ v^{2} + p) \\ r (e + p) v \end{matrix}), H (U) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ p \\ 0 \end{matrix}),

$U = \left( \begin{array}{c} r\rho \\ r\rho u \\ r\rho v \\ re\end{array} \right), \; F(U) = \left( \begin{array}{c} r\rho u \\ r(\rho u^2 + p) \\ r\rho uv \\ r(e+p)u\end{array} \right), \; G(U) = \left( \begin{array}{c} r\rho v \\ r\rho uv \\ r(\rho v^2 + p) \\ r(e+p)v\end{array} \right), \; H(U) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ p \\ 0 \end{array} \right),$

使用有限差分WENO5方法。

如何正确施加离散轴对称边界条件 $r=0$ ? 一篇关于边界条件（对于全柱坐标）的论文只是提到对称条件应该用于轴对称流动，但没有任何细节。

当我使用 MacCormack 的方法（二阶，每个网格点在每个方向上需要一个相邻点）时，过程非常简单（C 语法）：

//internal points
for (k = 1; k <= k_max - 1; k++)
{
    for (l = 1; l <= l_max - 1; l++)
    {
        R[k][l] = ... (calculated by MacCormack's method); 
        U[k][l] = ...;
        V[k][l] = ...;
        P[k][l] = ...;
    }
}
//boundary at r = 0
for (k = 0; k <= k_max; k++)
{
    R[k][0] = R[k][1]; 
    U[k][0] = U[k][1];
    V[k][0] = 0;
    P[k][0] = P[k][1];
}
//other boundaries...

其中 R,U,V,P 是数组 $\rho, u, v, p$ , 第一个数组索引k是 $x$ ，第二个l是 $r$ （均匀的方格）并l=0对应于 $r=0$ . 这个边界条件似乎运作良好。

使用 WENO5，问题在于对于每个网格点，模板中在每个方向上多使用三个点，因此在处指定一个点l=0是不够的。

我目前的想法是：

1.显式设置三个近轴点：

//internal points
for (k = 3; k <= k_max - 3; k++)
{
    for (l = 3; l <= l_max - 3; l++)
    {
        R[k][l] = ... (calculated by WENO5 method); 
        U[k][l] = ...;
        V[k][l] = ...;
        P[k][l] = ...;
    }
}
//boundary at r = 0
for (k = 0; k <= k_max; k++)
{
    for (l = 0; l <= 2; l++)
    {
        R[k][l] = R[k][l]; 
        U[k][l] = U[k][l];
        V[k][l] = 0;
        P[k][l] = P[k][l];
    }
}
//other boundaries...

2.新增三个鬼点 $r<0$ （所以l=3在 $r=0$ ) 并使用镜像值设置它们：

//internal points
for (k = 3; k <= k_max - 3; k++)
{
    for (l = 3; l <= l_max - 3; l++)
    {
        R[k][l] = ... (calculated by WENO5 method); 
        U[k][l] = ...;
        V[k][l] = ...;
        P[k][l] = ...;
    }
}
//boundary at r = 0
for (k = 0; k <= k_max; k++)
{
    /values at r < 0
    for (l = 0; l <= 2; l++)
    {
        R[k][l] = R[k][6 - l]; 
        U[k][l] = U[k][6 - l];
        V[k][l] = -V[k][6 - l];
        P[k][l] = P[k][6 - l];
    }
    //values at r = 0
    R[k][3] = R[k][4]; 
    U[k][3] = U[k][4];
    V[k][3] = 0;
    P[k][3] = P[k][4];
}
//other boundaries...

或带有反转符号的镜像（因为鬼点处的值乘以负数 $r$ 在方程式中）：

    ...
    for (l = 0; l <= 2; l++)
    {
        R[k][l] = -R[k][6 - l]; 
        U[k][l] = -U[k][6 - l];
        V[k][l] = V[k][6 - l];
        P[k][l] = -P[k][6 - l];
    }
    ...

方法1和2在对称轴附近产生明显的伪影。

3.将网格移动半步，以便没有点正好位于 $r=0$ 并使用鬼点。但是，这种方法会导致计算不稳定。

正确的方法是什么？