在我的计算机视觉课程中，我们致力于从在多种条件下拍摄的一系列 2D 图像中提取 3D 表面。此过程称为光度立体。在提取表面之前$f(x,y)$在数值上，我们必须执行所谓的可积性测试：

$$\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} \tag{1}$$ 这种健全性测试可以通过离散偏导数来进行数值测试，以便它接受小值（因此我们必须接受它才能恢复$f$，我们从小值开始恢复它）。从数值上看，这转化为： $$\frac{\partial\displaystyle\left(\frac{\alpha(x,y)}{\gamma(x,y)}\right)}{\partial y}-\frac{\partial\displaystyle\left(\frac{\beta(x,y)}{\gamma(x,y)}\right)}{\partial x}\approx0 \tag{2}$$ 在哪里 ： $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\alpha(x,y)}{\gamma(x,y)}\qquad\text{and}\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\beta(x,y)}{\gamma(x,y)} \tag{3}$$ 基本上在哪里$(\alpha(x,y),\beta(x,y),\gamma(x,y))$是单位法向量在表面某点的测量值的坐标$f$.

简而言之，我们如何以数字方式检查是否$(2)$已验证？我们应该用什么算法或程序来离散化偏微分？

我不熟悉诸如离散偏微分方程之类的高级概念。但是，我熟悉数值积分技术。