使用这样的网格,有限元方法能否获得良好的离散化误差?

计算科学 有限元 有限体积
2021-12-14 02:56:25

我的最后一个问题是关于刚度矩阵的条件数。这个问题是关于离散化误差(这对大多数人来说可能更重要)。下图右侧的网格(来源)比左侧的“完美”质量网格产生了更好的离散化误差,即使右侧的网格具有角度接近 180 度的四边形。

规则和不规则网格上的 Burgers 方程

我假设该图的创建者(Christopher Roy 教授)使用了有限体积或有限差分法,因为他是流体动力学专家。根据您使用 FEM 的个人经验,FEM 是否可以使用图右侧的网格获得良好的离散化误差?

2个回答

我想,但我面前没有证据,如果你使用双线性笛卡尔积元素和从主元素到真实元素的等参数映射,那么映射的雅可比将在这些元素上的平角。如果你从不评估那里的任何东西,那实际上可能没问题。如果您使用高斯求积,那么您可能只在元素的高斯点处评估内部的事物。如果您使用想要在元素的节点处进行积分的 Newton-Cotes 规则,那么您的积分能力将完全失败。因此,答案可能是“视情况而定”。在高斯情况下,即使您不评估任何内容,您也可能会失去一些准确性。

如果涉及有限元,右侧的网格存在多个问题。

元素非常扭曲,这会导致问题。这样做的原因是,借助等参元素计算的导数将失去准确性,元素扭曲得越多。

就像之前提到的那样,现在具有平角的四边形元素将导致雅可比行列式在元素中为零。需要雅可比倒数的等参变换将失败。

使用这种网格进行有限元计算是不太可能成功的。