在信号处理中，有两个问题很常见：

• 当输入为时，该滤波器的输出是什么？答案由给出，其中是称为滤波器“脉冲响应”的信号，是卷积运算。$x(t)$$x(t)\ast h(t)$$h(t)$$\ast$

• 给定一个噪声信号，信号是否以某种方式存在于中？换句话说，是的形式，其中是噪声吗？答案可以通过和的相关性找到。如果对于给定的时间延迟相关性很大，那么我们可能有信心说答案是肯定的。$y(t)$$x(t)$$y(t)$$y(t)$$x(t)+n(t)$$n(t)$$y(t)$$x(t)$$\tau$

注意，当涉及的信号是对称的时，卷积和互相关变成了同一个运算；这种情况在DSP的某些领域也很常见。

卷积和互相关这两个术语在 DSP 中以非常相似的方式实现。

您使用哪一种取决于应用程序。

如果您正在执行线性、时不变的滤波操作，您需要将信号与系统的脉冲响应进行卷积。

如果您正在“测量两个信号之间的相似性”，那么您可以将它们相互关联。

当您尝试生成匹配的过滤器时，这两个术语会一起出现。

在这里，您试图确定给定信号是否包含已知的“脉冲”（信号）。一种方法是将给定信号与已知脉冲的时间反转进行卷积：您现在正在使用卷积来执行给定信号与已知脉冲的互相关。$s[n]$$p[n]$$s$$p$

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旁注

（对某些人来说）术语“互相关”在 DSP 领域被误用。

对于统计学家来说，相关性是衡量两个变量的接近程度以及应该在和之间的值。$-1$$+1$

正如您从 Wikipedia entry on cross-correlation 中看到的那样，使用了 DSP 版本，它们声明：

互相关是衡量两个系列的相似性，作为一个相对于另一个的滞后的函数。

DSP 定义的问题： 是这种“相似性”度量取决于每个信号中的能量。

$$\sum_{\forall m} x[n] y[n+m]$$

@MathBgu我已经阅读了上面给出的所有答案，所有这些都是非常有用的一件事，我想通过考虑如下卷积公式来添加以便您更好地理解

$$f(x)*g(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(x-\tau)\,d\tau$$

对于互相关

$$(f\star g)(t)\stackrel{\text{def}}{=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f^*(\tau)g(t+\tau)\,d\tau,$$

我们知道等式的唯一区别是，在卷积中，在进行滑动点积之前，我们将信号翻转到 y 轴，即我们将更改为，而互相关只是滑动两个信号的点积。$(t)$$(-t)$

我们使用卷积来获得具有两个块/信号并且它们在时域中彼此直接相邻（串联）的系统的输出/结果。

卷积和相关的含义之间有很多微妙之处。两者都属于线性代数中内积和投影的更广泛概念，即将一个向量投影到另一个向量上以确定它在后者方向上的“强度”程度。

这个想法延伸到神经网络领域，我们将数据样本投影到矩阵的每一行，以确定它与该行的“拟合”程度。每行代表某一类对象。例如，每一行可以对字母表中的一个字母进行分类以进行手写识别。通常将每一行称为一个神经元，但它也可以称为匹配过滤器。

从本质上讲，我们是在测量两个事物的相似程度，或者试图找到某事物的特定特征，例如信号或图像。例如，当您使用带通滤波器对信号进行卷积时，您试图找出它在该频带中的内容。当您将信号与正弦波（例如 DFT）相关联时，您正在寻找信号中正弦波频率的强度。请注意，在后一种情况下，相关性不会滑动，但您仍然在“关联”两件事。您正在使用内积将信号投射到正弦曲线上。

那么，有什么区别呢？好吧，考虑到卷积信号相对于滤波器是反向的。对于随时间变化的信号，这具有数据按其进入滤波器的顺序相关的效果。暂时，让我们将相关性简单地定义为点积，即将一件事投影到另一件事上。因此，在开始时，我们将信号的第一部分与滤波器的第一部分相关联。随着信号继续通过滤波器，相关变得更加完整。请注意，信号中的每个元素仅与它在该时间点“接触”的滤波器元素相乘。

因此，通过卷积，我们在某种意义上是相互关联的，但我们也试图保持信号与系统交互时发生变化的时间顺序。但是，如果过滤器是对称的，通常情况下，它实际上并不重要。卷积和相关将产生相同的结果。

通过相关性，我们只是比较两个信号，而不是试图保持事件的顺序。为了比较它们，我们希望它们面向同一个方向，即对齐。我们将一个信号滑过另一个信号，这样我们就可以在每个时间窗口中测试它们的相似性，以防它们彼此异相，或者我们正在寻找较大信号中的较小信号。

在图像处理中，情况略有不同。我们不在乎时间。不过，卷积仍然有一些有用的数学特性。但是，如果您尝试将较大图像的一部分与较小图像匹配（即匹配过滤），您不会想要翻转它，因为那样特征将不会对齐。当然，除非滤波器是对称的。在图像处理中，相关性和卷积有时可以互换使用，尤其是在神经网络中。显然，如果图像是二维数据的抽象表示，时间仍然是相关的，其中一维是时间 - 例如频谱图。

总而言之，相关性和卷积都是滑动内积，用于将一件事投影到另一件事上，因为它们随空间或时间而变化。当顺序很重要时使用卷积，通常用于转换数据。相关性通常用于在较大的事物中找到较小的事物，即匹配。如果两个“事物”中的至少一个是对称的，那么你使用哪个并不重要。