如果极点在 s 平面的左半部分（左图），模拟滤波器是稳定的，如果极点在单位圆内（右图），数字滤波器是稳定的。因此，从数学上讲，从模拟转换为数字所需的只是从半空间到单位圆盘和轴到单位圆的映射（保形？） 。执行此操作的任何转换都可能成为双边转换的替代方案。$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

两种众所周知的方法是脉冲不变法和匹配 Z 变换法。从概念上讲，这两者都类似于对我们熟悉的连续波形进行采样。表示拉普拉斯逆变换，用表示 Z 变换，这两种方法都涉及计算模拟滤波器的脉冲响应为$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

并以足够高的采样间隔然后从采样序列中获得数字滤波器的传递函数：$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

但是，两者之间存在关键差异。

脉冲不变法：

在这种方法中，您将模拟传递函数扩展为部分分数（不是在Peter 提到的匹配 Z 变换中）为

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

其中是某个常数，是极点。在数学上，任何分子比分母小的传递函数都可以表示为部分分数的和。只有低通滤波器满足这个标准（高通和带通/带阻的度数至少相同），因此不能使用脉冲不变法来设计其他滤波器。$C_m$$\alpha_m$

失败的原因也很清楚。如果分子中的多项式与分母中的次数相同，那么您将有一个独立的常数项，在逆变换时，它将给出一个无法采样的 delta 函数。

如果你执行拉普拉斯逆变换和 Z 前向变换，你会看到极点被变换为这意味着如果你的模拟滤波器是稳定的，那么数字滤波器也将是稳定的. 因此，它保持了过滤器的稳定性。$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

匹配的 Z 变换

和类似的方式（匹配）对极点和零点进行简单变换（也保持稳定性），给出$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

您可以很容易地看到这两种方法的局限性。仅当您的滤波器是低通的并且匹配的 z 变换方法适用于带阻和带通滤波器（以及高达奈奎斯特频率的高通）时，脉冲不变量才适用。它们在实践中也受到采样率的限制（毕竟，您只能上升到某个点）并遭受混叠的影响。

双线性变换是迄今为止实践中最常用的方法，以上两种方法更多的是出于学术兴趣。至于转换回模拟，我很抱歉，但我不知道也帮不上什么忙，因为我几乎从不使用模拟滤波器。

有很多方法可以进行从到的映射。控制社区对此有一些话要说。$s$$z$

一些例子是：

匹配的 Z 变换

在这里，域传递函数被写为部分分数展开：$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

部分分式展开的每一部分的转换直接使用：

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

辛普森法则

双线性变换的一种解释是，它是一种通过使用梯形规则的近似积分将连续时间转换为离散时间的方法。

一种更准确的近似积分技术使用辛普森法则。如果使用此近似值，则生成的映射为：

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$