给定一张图片$I(m,n)$和$m,n$整数，该图像在任意点的插值$m',n'$可以写成

$$\tilde{I}(m',n')=\sum_{m=\left\lfloor m'\right\rfloor-w+1}^{\left\lfloor m'\right\rfloor+w}\ \sum_{n=\left\lfloor n'\right\rfloor-w+1}^{\left\lfloor n'\right\rfloor+w}I(m,n)\ f(m'-m,n'-n)$$

结果$\tilde{I}$仍然只是真实的底层连续图像的近似值$\mathcal{I}(x,y)$不同的插值函数所做的只是在不同的约束和目标下最小化近似误差。

在信号处理中，您需要插值函数$f(m,n)$成为理想的低通滤波器。但是，它的频率响应需要无限支持，并且仅对带限信号有用。大多数图像没有带宽限制，并且在图像处理中还有其他因素需要考虑（例如眼睛如何解释图像。数学上最优的可能在视觉上并不吸引人）。插值函数的选择，就像窗口函数一样，很大程度上取决于手头的具体问题。我没有听说过 Connes、Welch 和 Parzen（也许它们是特定领域的），但其他的应该是上面 Wikipedia 链接中给出的一维窗口的数学函数的二维等价物。

就像时间信号的窗口函数一样，通过查看图像内插核的频率响应，很容易了解图像内插核的作用。从我对窗口函数的回答：

描述窗函数的两个主要因素是：

1. 主瓣宽度（即，在哪个频率区间，功率是最大响应的一半）
2. 旁瓣的衰减（即，旁瓣离主瓣有多远）。这告诉您窗口中的频谱泄漏。

这几乎适用于插值内核。选择基本上是在频率过滤（旁瓣衰减）、空间定位（主瓣宽度）和减少其他影响（例如振铃（吉布斯效应）、混叠、模糊等）之间进行权衡。例如，具有振荡的内核因为 sinc 内核和 Lanczos4 内核会在图像中引入“振铃”，而高斯重采样不会引入振铃。

这是 Mathematica 中的一个简化示例，让您可以看到不同插值函数的效果：

true = ExampleData[{"TestImage", "Lena"}];
resampling = {"Nearest", "Bilinear", "Biquadratic", "Bicubic", 
   "Gaussian", "Lanczos", "Cosine", "Hamming", "Hann", "Blackman", 
   "Bartlett", "Connes", "Welch", "Parzen", "Kaiser"};
small = ImageResize[true, Scaled[1/4]];

在这里，true代表我认为是“精确”图像的离散等效的图像$\mathcal{I}(x,y)$, 并small表示较小比例的图像$I(m,n)$（我们不知道它是如何获得的）。我们将插值$I(m,n)$4x 给$\tilde{I}(m',n')$与原始大小相同。下面，我展示了这种插值的结果以及与真实图像的比较：

您可以亲自看到不同的插值函数具有不同的效果。Nearest 和其他一些具有非常粗糙的特征，您基本上可以看到锯齿状线条（查看完整尺寸的图像，而不是网格显示）。Bicubic、biquadratic 和 Parzen 克服了这一点，但引入了很多模糊。在所有内核中，Lanczos 似乎（在视觉上）是最吸引人的，也是最出色的内核。

当我有时间时，我将尝试扩展这个答案并提供更直观的示例来展示差异。您可能想阅读我在网上找到的这篇非常简单且内容丰富的文章（PDF 警告）。