我已经接受了@Phonon的答案并对其进行了一些修改，以便它仅在顶行和左列上使用 GCD 方法，而不是在行/列总和上。这似乎更好地处理病理病例。如果顶行或左列全为零，它仍然会失败，但可以在应用此方法之前检查这些情况。

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

非常感谢@Phonon并@Jason R为此提供了最初的想法。

知道了！贴MATLAB代码，今晚或者明天发解释

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

也许我正在轻视这个问题，但似乎你可以：

• 打破$N$-经过-$M$矩阵$\mathbf{A}$成行$\mathbf{a_i}$,$i = 0, 1, \ldots , N-1$.

• 对于每行索引$j > 0$：

  • 按元素划分$\mathbf{a_j}$经过$\mathbf{a_0}$产生行中每个元素的比率$j$与第 0 行的对应项$\mathbf{r_j}$. 这需要使用浮点数或其他一些小数运算来完成。
  • 检查中的元素$\mathbf{r_j}$来确定它们是否是常数。您需要在此比较中允许一些容差以允许浮点舍入。
  • 如果值在$\mathbf{r_j}$是恒定的，然后行$\mathbf{a_j}$是行的标量倍数$\mathbf{a_0}$. 存储行的比率$j$行$0$在一个列表中$\mathbf{x}$.
  • 如果比率向量不是常数，则行$\mathbf{a_j}$是行的标量倍数$\mathbf{a_0}$，因此您将无法以这种方式分解矩阵。停止检查。

• 如果在上述测试中所有行都被认为是第 0 行的常数倍数，则取行比率标量列表$\mathbf{x}$并按最小比率对其进行归一化：

• 这样做之后，比率的标准化列表将包含具有最小范数的行的值 1。您想看看是否可以以某种方式缩放此列表以生成包含所有整数系数的列表。蛮力方法可以只进行线性搜索，即计算： 对于每个值，在计算比例的比例列表后，您需要检查每个比例以查看它们是否为整数值（同样，有一定的公差）。将设置为您愿意在行间比率中寻找的最大分母。$\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

不是最优雅的方法，并且可能有更好的方法，但它应该可以工作，实现起来非常简单，并且对于中等大小的矩阵应该相对较快。

另一种方法是找到一个可分离的近似 到你的内核，看看它有多接近。两种方法，即最小化 : 1) 蛮力优化 ; 这需要时间〜它们的长度的总和，而不是乘积 2) 对于固定和，最优只是一个投影，所以 依次$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$

（来自math.stackexchange 上的近似卷积作为可分离卷积 的总和。）