我试图直接可视化离散小波变换（DWT）细节系数与原始信号/其重建之间的关系。目标是以直观的方式显示它们的关系。我想问一下（请参阅下面的问题）：到目前为止，我提出的想法和过程是否正确，如果我是对的，最好在可视化它们的关系之前从原始信号中减去第一级近似值.

最小的例子

这是我解释的最小示例，使用具有 1024 个值的Python 的ECG 示例数据作为简单的 1D 信号：pywavelets

import pywt
import pywt.data
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = pywt.data.ecg()
plt.plot(x)
plt.legend(['Original signal'])

分解是使用Symmlet 5完成的，共有 6 个级别：

w = pywt.Wavelet('sym5')
plt.plot(w.dec_lo)
coeffs = pywt.wavedec(x, w, level=6)

当有意遗漏更高级别的细节系数时，信号的（有损）重建按预期工作（为方便起见，信号绘制在统一的 x 尺度 [0,1] 上）：

def reconstruction_plot(yyy, **kwargs):
    """Plot signal vector on x [0,1] independently of amount of values it contains."""
    plt.plot(np.linspace(0, 1, len(yyy)), yyy, **kwargs)

reconstruction_plot(pywt.waverec(coeffs, w)) # full reconstruction 
#reconstruction_plot(pywt.waverec(coeffs[:-1] + [None] * 1, w)) # leaving out detail coefficients up to lvl 5
#reconstruction_plot(pywt.waverec(coeffs[:-2] + [None] * 2, w)) # leaving out detail coefficients up to lvl 4
#reconstruction_plot(pywt.waverec(coeffs[:-3] + [None] * 3, w)) # leaving out detail coefficients up to lvl 3
reconstruction_plot(pywt.waverec(coeffs[:-4] + [None] * 4, w)) # leaving out detail coefficients up to lvl 2
#reconstruction_plot(pywt.waverec(coeffs[:-5] + [None] * 5, w)) # leaving out detail coefficients up to lvl 1
reconstruction_plot(pywt.waverec(coeffs[:-6] + [None] * 6, w)) # leaving out all detail coefficients = reconstruction using lvl1 approximation only
plt.legend(['Full reconstruction', 'Reconstruction using detail coefficients lvl 1+2', 'Reconstruction using lvl 1 approximation only'])

上面的 DWT 产生 24 个值的 1 级近似向量、24 个值的 1 级细节系数向量、40 个值的 2 级细节向量、72 个值的第 3 级、135 个值的第 4 级、262 个值的第 5 级和516 个值中的 6 个：

plt.stem(coeffs[1]); plt.legend(['Lvl 1 detail coefficients'])
plt.stem(coeffs[2]); plt.legend(['Lvl 2 detail coefficients'])
plt.stem(coeffs[3]); plt.legend(['Lvl 3 detail coefficients'])
plt.stem(coeffs[4]); plt.legend(['Lvl 4 detail coefficients'])
plt.stem(coeffs[5]); plt.legend(['Lvl 5 detail coefficients'])
plt.stem(coeffs[6]); plt.legend(['Lvl 6 detail coefficients'])

似乎我们在原始信号的尖峰周围看到了清晰的模式（还要注意上图的 y 比例）。

现在我的问题：

1. 我们可以直接将这些系数与信号联系起来是正确的吗？系数的幅度对应于小波在信号中出现的幅度（y轴），系数的位置对应于时间（x轴）。或者在这两者之间我们需要考虑什么？

2. 在 DWT 之后，最终的 lvl1 近似值仍然存在。不将细节系数与原始信号的关系可视化，而是将原始信号减去 lvl1 近似值可视化是否有意义？（我知道如果不这样做，我很可能也会看到系数和信号之间的关系，请参见下面的图。只是因为它有意义或没有意义。如果它对 lvl1 细节系数有意义，那么它也可能对要与原始信号减去 lvl2 近似值进行比较的 lvl2 细节系数，对吧？）。一个例子：

   # Reconstruction of signal using just lvl1 approximation
   approx_lvl1 = pywt.waverec(coeffs[:-6] + [None] * 6, w)
   # interpolate to original amount of samples (necessary due to numeric solution of transformation not yielding same amount of values)
   approx_lvl1_interp = np.interp(x=np.arange(0, 1024), xp=np.linspace(0, 1024, len(approx_lvl1)), fp=approx_lvl1)
   x_without_lvl1approx = x - approx_lvl1_interp
   

3. 我使用的细节系数和信号之间关系的直接可视化只是在 [0,1] 的 x 轴上绘制信号和系数。这在概念上应该是有效的，但我不确定我是否真的需要向边距偏移（例如，向量的第一个和最后一个系数没有位于信号的最开头或结尾）：

   def reconstruction_stem(yyy, **kwargs):
       """Plot coefficient vector on x [0,1] independently of amount of values it contains."""
       plt.stem(np.linspace(0, 1, len(yyy)), yyy, **kwargs)
   
   reconstruction_plot(x, color='orange')
   reconstruction_plot(x_without_lvl1approx, color='red')
   reconstruction_stem(coeffs[1])
   plt.legend(['Original signal', 'Original signal - lvl1 approximation', 'Detail coefficients'])
   

对于不直接位于原始数据中峰值位置的强系数是否有直观的解释（例如，在 1 级，最低的（最强的负）在 0.25 左右，以及最高的（最强的正）在 0.75 左右)? 虽然有一个清晰的模式（正滞后+负幅度，负滞后+正幅度），但对我来说似乎有点“遥远”。但这可能有一个很好的解释。

谢谢回答！