这是最古老的信号处理问题之一，在介绍检测理论时可能会遇到一个简单的形式。有解决此类问题的理论和实践方法，根据具体应用，它们可能重叠也可能不重叠。

了解解决问题的方法的第一步是了解如何测量信号存在检测器的性能。有两个重要且相关的指标用于定量衡量检测器的好坏：检测概率 $P_d$及其误报概率 $P_{fa}$.

$P_d$指定为您的检测器指示存在感兴趣信号的概率，假设信号实际存在。反过来，$P_{fa}$是在不存在信号的情况下，您的检测器指示存在感兴趣信号的概率。如你所料，那么，在一个完美的世界里，我们会设计一个系统，产生$P_d = 1$和$P_{fa} = 0$并收工。正如您可能还期望的那样，这并不容易。这两个指标之间存在固有的权衡；通常，如果您做某事改进了一个，您会观察到另一个退化。

一个简单的例子：如果您在噪声背景下寻找脉冲的存在，您可能决定将阈值设置为高于“典型”噪声水平的某个位置，并决定在您的检测统计中断时指示存在感兴趣的信号高于阈值。想要一个非常低的误报概率？将阈值设置为高。但是，如果升高的阈值等于或高于预期的信号功率水平，则检测概率可能会显着降低！

可视化$P_d$/$P_{fa}$关系，这两个量通常在接收器操作特征曲线上相互绘制。这是维基百科的一个例子：

一个理想的检测器应该有一条 ROC 曲线紧贴图的顶部；也就是说，它可以为任何误报率提供有保证的检测。实际上，检测器将具有类似于上图的特征；增加检测概率也会增加误报率，反之亦然。

因此，从理论的角度来看，这些类型的问题归结为在检测性能和误报概率之间选择某种平衡。如何在数学上描述这种平衡取决于检测器观察到的随机过程的统计模型。该模型通常有两种状态或假设：

通常，检测器观察到的统计数据将具有两个分布之一，根据哪个假设是正确的。然后检测器应用某种测试来确定真实假设，从而确定信号是否存在。检测统计量的分布是您根据应用程序选择的信号模型的函数。

常见的信号模型是在加性高斯白噪声 (AWGN)背景下检测脉冲幅度调制信号。虽然该描述在某种程度上特定于数字通信，但许多问题可以映射到该模型或类似模型。具体来说，如果您正在寻找针对 AWGN 的背景在时间上定位的恒定值音调，并且检测器观察信号幅度，那么如果不存在音调，则该统计量将具有瑞利分布，如果存在音调，则该统计量将具有 Rician 分布。

一旦开发了统计模型，就必须指定检测器的决策规则。根据对您的应用程序有意义的情况，这可以像您希望的那样复杂。理想情况下，您希望根据您对两种假设下的检测统计量分布、每个假设为真的概率以及任一假设错误的相对成本的了解，做出某种意义上的最优决策（我稍后会详细讨论）。贝叶斯决策理论可以用作从理论角度处理问题这方面的框架。

在最简单的实际情况下，如果检测统计量超过固定阈值，检测器可能会触发检测$T$. 在更复杂和实际的情况下，检测器可能有一些标准来设置自适应阈值$T(t)$并及时触发检测$t$如果检测统计在那个时刻突破了阈值。在您对问题的描述中，您找到了一种设置这种自适应阈值的常用方法：计算邻域平均值以估计“背景水平”，然后设置一个高于该平均值的检测阈值。这适用于某些应用程序，还有许多其他方法可以达到这样的阈值。

给定检测器输入的统计模型和用于将该统计数据映射到检测结论的决策规则，然后可以计算检测器的理论性能指标。在设计阶段，您通常会将这些指标计算为您拥有的自由设计参数的函数（例如，阈值$T$更多）。然后您可以评估内在的权衡：“如果我设置$T=5$，然后我得到$P_d = 0.9999$， 但$P_{fa} = 0.01$. 这误报率太高了，所以我最好提高阈值。”

您最终决定坐在性能曲线上的哪个位置取决于您，并且是一个重要的设计参数。选择正确的性能点取决于两种可能故障的相对成本：对于您的检测器来说，当信号发生时错过信号的发生或在信号未发生时记录信号的发生，这更糟？一个例子：一个具有自动反击能力的虚构弹道导弹探测器最好具有非常高的误报率；因虚假检测而引发世界大战将是不幸的。相反情况的一个例子是用于生命安全应用的通信接收器；如果您想最大程度地确信它不会接收到任何遇险消息，

统计量是似然比 (LR)，检验是 LR 与阈值的比较。如果您遵循将零假设的可能性放在分母中的传统，则如果 LR 足够高，则您决定支持备择假设（反对零假设）。比率越高，您的信心就越大。如果您已经收集了数据，这是您将执行的测试。如果您想在数据到达时做出决定，您可以使用顺序测试，例如SPRT。

在这个阶段，您可能会受益于一本关于假设检验或决策理论（更一般）的书。