从概念上讲,傅里叶变换与自相关有何不同?

信息处理 傅里叶变换 自相关
2021-12-30 14:20:57

我意识到这两者是使用不同的算法得出的,并且单位不同,但是从它们提供的信息的概念角度来看,它们有何不同?

我在这里考虑的是来自时间序列的“代表性”样本块的或多或少具体(但一般)的情况,其中假设数据的总统计数据相对于块大小变化缓慢。(我认为这大致就是 WSS 流程的定义。)

请注意,我对傅里叶变换(至少是简单的一维真实版本)作为“频谱”有了直观的理解。我还没有为自相关开发一个直观的概念——这就是我正在探索的。

更新: 我不会把事情分散,而是把它放在这里,因为它与我想了解自相关在做什么的愿望有关......

以下(原始)图表是我的一个信号的强力自相关。(这些单位基本上没有意义,256 个垃圾箱被塞进 150 个打印位置。)奇怪的是分叉的尾巴。什么会导致这个?(碰巧我在打鼾的高峰期看到了这条双尾巴——否则尾巴有点模糊,峰和斜率几乎没有那么明显。)检查数字数据表明,每隔一个值大约是 10 倍不同于它的直接邻居。

我想这是采样的某种产物,但对我来说具体可能是什么并不明显。

16893892.00 :           *                                                                                                                                           
12668632.00 :             *                                                                                                                                         
9500134.00 :                                                                                                                                                       
7124095.00 :            *                                                                                                                                          
5342317.50 :                                                                                                                                                       
4006173.25 :               *                                                                                                                                       
3004206.00 :                                                                                                                                                       
2252836.75 :                *                                                                                                                                      
1689389.25 :          *                                                                                                                                            
1266863.12 :                                                                                                                                                       
950013.38 :                 *                                                                                                                                     
712409.50 :         *               *                                                                                                                             
534231.75 :              *   *    **                                                                                                                              
400617.31 :        *                 *                                                                                                                            
300420.59 :          *        *  *  * *                                                                                                                           
225283.67 :      *                      *                                                                                                                         
168938.92 :             *                **                                                                                                                       
126686.32 :               **               **  **                                                                                                                 
 95001.34 :     *   *            *           *   * *                                                                                                              
 71240.95 :                     *    *            *  * * **                                                                                                       
 53423.18 :                                           * *   *  *                                                                                                  
 40061.73 :       *                   **                     ** ** * **                                                                                           
 30042.06 :  *                *                                     *  ** ***                                                                                     
 22528.37 :                             *      *                             *** ** **  *                                                                         
 16893.89 :        *        *  *         * *               *                       *   * **** ** **                                                               
 12668.63 :   *                              *                                                  *  * ****** ****                                                  
  9500.13 :   *                             * * * *                                                             ** ****** *****  **                               
  7124.10 :      *                                    *     *    *                                                              *  *** ****** *****  **  *        
  5342.32 :                                        **           * *                                                                                *   ** * ***** 
  4006.17 :                                          *       **    ** ***                                                                                         
  3004.21 : *   *              *                         **              *** ***        *                                                                         
  2252.84 :                                            *                        *** ***  *  *                                                                     
  1689.39 :                                                                            *   * **** ** *                                                            
  1266.86 :                                                                                         * ** ****  * ***   **                                         
   950.01 :  *                                                                                               *  *   * *  *   **  ** *                   *         
   712.41 :                                                                                                               **   **    ****  ***** *****    *  *   *
   534.23 :                                                                                                                              *            *  * *   *  
   400.62 :                                                                                                                                                 *   * 
   300.42 :                                                                                                                                                       
   225.28 : *  *                  *                                                                                                                               
========= : ======================================================================================================================================================
          :  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
          :  0 0 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 7 8 9 9 0 0 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 7 8 9 9 0 0 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 7 8 9 9 0 0 1 2 2 3 4 4 5 5 6 7 7 8 9 9 0 0 1 2 2 3 4 4 5 5 6
          :  3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5 1 8 4 0 6 3 9 5
          :  1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6 9 1 4 6
4个回答

好的,在一个特定应用程序的上下文中:如果您试图找到波形的频率,您可以类似地从傅里叶变换中的峰值位置或自相关的峰值位置计算它。(并且可以使用傅立叶变换有效地计算自相关,所以我不知道为什么每个人都反对“它们完全不同且不相关”。)

傅里叶变换显示信号的所有单个频率分量。如果基频恰好是最大的,你可以从频谱中挑选出来,那个峰值的位置就是波形的基频。如果峰值与谐波相关,但缺少基波,则在基波处不会出现峰值,您必须对谐波的位置进行一些特殊处理才能找到它。

自相关显示整个波形的周期性。峰值的位置将是波形的基本周期,可以很容易地转换为频率。如果缺少基波,自相关仍然会找到它(谐波的 GCD)。

注意:如果波形不是完全重复的,则自相关峰值会偏移且不准确。例如,人声和弓弦乐器的声音会很好,而弹拨乐器的声音会稍高,因为不和谐使谐波稍高。另一方面,人类感知的音高也略高于真正的基音,因此根据您正在处理的信号类型以及您想要从中获得什么,一种或另一种方法可能更合适.

对于初学者来说,自相关只是 WSS 进程的相对时间的函数,否则它取决于绝对时间:RX(t1,t2)E[X(t1)X(t2)]

其次,说“时间就是频率的倒数”是错误的,因为频率是周期性过程的特征。自相关通常不是一个周期性的过程,但是可以找到它的周期性近似(扩展)。

最后,除了自相关之外,还有很多函数都有傅里叶变换;为什么要将它与自相关来识别,它只是一个特定的函数?请注意,傅里叶变换本质上与随机性无关;任何好的、绝对可积的函数都有傅立叶变换。在周期函数的情况下,您可以考虑傅里叶级数。

我还没有为自相关开发一个直观的概念——这就是我正在探索的。

自相关是衡量不同滞后的信号与其自身的相似程度的量度。这对于调查潜在的周期性行为很有用。如果您的信号周期性的,将其移动周期的倍数将产生完美匹配。如果不是但具有周期性或准周期性分量,则自相关将确定它们的能量。

对于采样数据的时间限制窗口,您可以从 DFT 导出自相关,但反之则不行。因此,DFT 包含有关该数据时间窗口的更多信息。

我意识到这两者是使用不同的算法得出的

好吧,您还可以通过对功率谱进行傅立叶变换来获得自相关信号,所以我猜您可以说这 2 是通过两次执行 1 算法并在中间进行一些平方来关联的 :)

如果你更深入地思考这意味着什么,你就会意识到,如果你有一个谐波信号,它的频谱就会有“周期性”尖峰。再次进行傅立叶变换将把这些信息总结为一种可能更有用的形式,以供进一步计算。希望能给你增加另一个思路。