信息处理 - 被fft相位谱迷惑了！ - 吾爱随笔录

被fft相位谱迷惑了！

信息处理 fft matlab 阶段

2022-01-08 14:40:48

一个非常简单的 MATLAB 实验：

f = 200;  
fs = 1000;  
t = 0: 1/fs : 1;
x = cos(2*pi*f*t);  
plot(angle(fftshift(fft(x))));

这是输出：在此处输入图像描述

现在，对上面的代码片段做了一个小的改动；仅将持续时间减少 1 个样本，如下所示：

f = 200;  
fs = 1000;  
t = 0: 1/fs : 1 - 1/fs;
x = cos(2*pi*f*t);  
plot(angle(fftshift(fft(x))));

相位谱变得非常疯狂：

在此处输入图像描述

问题：

在第一个图中，我希望看到 bin 700 处的零相位对应于本例中的正频率 200。情况似乎并非如此。其次，我不理解图 1 中图形的线性部分。我确实很欣赏由于所谓的数值噪声而可能存在的相位分量，但是那个噪声怎么可能在相位上如此“线性”呢？
在第二个图中，为什么只删除一个样本会对相位图产生如此巨大的影响？
我在这里做一些根本错误的事情吗？

3个回答

你没有做错任何事，但你也没有仔细考虑你应该看到什么，这就是为什么你对结果感到惊讶。对于问题1，您的猜想很接近，但实际上您的情况倒退了；困扰您的第二个的是数字噪音，而不是您的第一个。

图片可能会有所帮助。这是第一次试验的幅度和相位图：

x = Cos[2.0 \[Pi] 200 Range[0, 1, 1/1000]];
fx = Fourier[x];
ListLinePlot[Abs[fx], PlotRange -> All]
ListLinePlot[Arg[fx], PlotRange -> All]

在此处输入图像描述

第二个：

x = Cos[2.0 \[Pi] 200 Range[0, 1 - 1/1000, 1/1000]];
fx = Fourier[x];
ListLinePlot[Abs[fx], PlotRange -> All]
ListLinePlot[Arg[fx], PlotRange -> All]

在此处输入图像描述

那么这里发生了什么？第二个最容易解释。首先，第二个 FFT 的幅度为零，除了幅度谱中可见的两个峰值；这是因为使用 1,000 个数据点的 FFT 定义为形式的频率，因此您的信号恰好落在频率箱上。结果，在其他 998 个点上，您的信号完全是由于浮点误差引起的机器噪声，因此您的相位谱是无意义的，因为它实际上是伪随机数的相位。 $k/1000$ $0\leq k\leq 999$

但是，对于第一个，FFT 的定义包含形式的频率，而您的信号频率是，而不是的形式。结果，您的信号会因频谱泄漏而变宽，并且几乎在所有地方都是非零的。我不会评论相位图的物理形式，但我会说它承认一个封闭的分析形式。 $k/1001$ $0\leq k \leq 1000$ $200/1000$ $k/1001$

总的来说，我认为单独的相位角图对于传达信息来说是一个非常糟糕的主意，正是因为这个原因。首先，您无法判断您查看的是低幅度垃圾的相位还是实际信号的相位，其次，它不是平移不变的，对于简单的输入，很容易得到完全令人眼花缭乱的图表。更好的是，如果您仍在寻找传达相位信息的东西，那么是一个以相同的视觉方式同时描绘相位和幅度信息的图形，例如相位被编码为色调和幅度被编码为亮度的图。

附录：这是来自 Mathematica 的几张图片，它们说明了我在上一段中所述的原理：

hue = Compile[{{z, _Complex}}, {(1.0 Arg[-z] + \[Pi])/(2 \[Pi]), 
Exp[1 - Max[Abs[z], 1]], Min[Abs[z], 1]}, 
CompilationTarget -> "C", RuntimeAttributes -> {Listable}];
L = 500;
data = Table[Boole[x <= 11 && y <= 11], {x, L}, {y, L}];
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {-5, -5}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {-4, -4}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]
Image[hue@
RotateRight[
10 RotateRight[Fourier[RotateRight[data, {0, 0}]], {L/2, L/2}]], 
ColorSpace -> Hue, Magnification -> 1]

在此处输入图像描述

所有三幅图像都是相同输入信号的 2D 傅里叶变换（平方用零填充到的长度），但输入已经循环旋转了 5、4 和 0，并且200 个数据点。幅度谱（由像素亮度编码）是相同的，但相位谱完全不同！完成相位编码，以便 1 映射到红色，映射到绿色，映射到青色， $11\times 11$ $500\times 500$ $i$ $-1$ $-i$ 映射为紫色。当我说相位谱是非位移不变的，因此不适合人类视觉理解时，这就是我的意思。例如，对于 200 个数据点的循环移位，完全无法判断相位中发生了什么，因为它看起来像静态的，但输入信号并不比其他输入情况复杂。

如果您想改变信号的频率或 FFT 长度，以便信号在 FFT 孔径中完全周期性和非完全周期性之间变化，并且不希望看到该信号变化的峰值幅度箱的相位，如果 FFT 孔径而不是开头，则可以将信号的初始相位参考到中心（对于生成的 sin(t)，将 t=0 放在 FFT 阵列的中心）。

Gaussian Waves 网站详细介绍了相位及其类似随机行为的部分：正如 DumpsterDoofus 所说，只是浮点错误的问题

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