信息处理 - 是什么ZZ- 贝塞尔函数的变换Ĵ0( αn ) _J0(αn)顺序 - 吾爱随笔录

是什么ZZ- 贝塞尔函数的变换Ĵ0( αn ) _J0(αn)顺序

信息处理傅里叶变换 z变换

2022-01-07 17:32:17

是什么 $\mathcal Z$ - 序列变换 $J_0(\alpha n)$ 为了 $n \in \mathbb{Z}$ ?

零的傅里叶变换 $^{\rm th}$ 贝塞尔函数 $J_0(\alpha x)$ 已知是 $\frac{2}{\sqrt{\alpha^2 - \omega^2}}$ 为了 $|\omega| < \alpha$ . 这有一个极点 $\omega = \alpha$ . 这是否意味着 $\mathcal Z$ -transform 在单位圆上也会有一个极点？

编辑：

我正在研究的问题涉及贝塞尔函数的离散样本，即 $J_0(n)$ . 我应该如何着手确定其 $\mathcal Z$ -转变？

2个回答

第一类和 0 阶贝塞尔函数的泰勒展开是

J_{0} (x) = \sum_{m = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{m}}{(m!)^{^{2}}} {(\frac{1}{2} x)}^{2 m}

$J_{0}\left ( x \right )= \sum_{m=0}^{\infty }\frac{(-1)^{m}}{(m!)^{^{2}}}\left ( \frac{1}{2}x \right )^{2m}$

（见http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function）

因此，您基本上可以将其近似为多项式的 Z 变换。

您可以应用的定义 $\mathcal Z$ - 转换为贝塞尔函数的等价表达式，或近似值。

等效函数可以是：

\begin{aligned} J_{0} (x) & = \frac{1}{π} \cos (x \cos ϕ) d ϕ \\ = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} (1 - \frac{x^{2} \cos^{2} ϕ}{2!} + \frac{x^{4} \cos^{4} ϕ}{4!} - \frac{x^{6} \cos^{6} ϕ}{6!} + \dots) d ϕ \end{aligned}

$\begin{align} J_0(x) &= \frac 1\pi\cos\left(x\cos\phi\right)d\phi\\ &=\frac 1\pi\int_0^\pi\left(1-\frac{x^2\cos^2\phi}{2!}+\frac{x^4\cos^4\phi}{4!}-\frac{x^6\cos^6\phi}{6!}+\cdots\right)d\phi \end{align}$

更新：

有关等效表达式的更多信息，请参见此处。

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