信息处理 - 用另一个数字替换欧拉公式中的“e” - 吾爱随笔录

用另一个数字替换欧拉公式中的“e”

信息处理信号分析数学复杂的余弦

2021-12-31 17:51:11

如果我们使用除常数以外的任何实数，欧拉公式是否仍然有效 $e$ ? 例如替换 $e$ 使用 5 会使公式看起来像这样： $5^{it}$ .

我在 Matlab 中尝试了这个想法并替换了 $e$ 几乎没有其他实数（例如 1.5、10、2.1），并且每次绘图仍然显示看起来像余弦和正弦波。cos 和 sin 的频率根据基数而变化。

这是我的大致方法：

w = freq * 2 * pi;
t = 0:0.001:1000 ;

a = real( number ^ (i*wt) ) ; % cos in Euler's formula
b = imag( number ^ (i*wt) ) ; % sin in Euler's formula

3个回答

说你感兴趣

\begin{matrix} (1) & M^{j 2 π f_{0} t} . \end{matrix}

$M^{j2\pi f_0 t}. \tag{1}$ 注意

M = e^{\log M},

$M = e^{\log M},$ 所以

(1)

$(1)$ 可以写成

\begin{aligned} M^{j 2 π f_{0} t} & = {(e^{\log M})}^{j 2 π f_{0} t} \\ = e^{j 2 π (f_{0} \log M) t} \\ = \cos (2 π (f_{0} \log M) t) + j \sin (2 π (f_{0} \log M) t), \end{aligned}

$\begin{align} M^{j2\pi f_0 t} &= \left( e^{\log M} \right) ^ {j2\pi f_0 t} \\ &= e^{j2\pi (f_0\log M) t} \\ &= \cos(2\pi (f_0\log M) t) + j \sin(2\pi (f_0\log M) t), \end{align}$ 这是一个具有频率的复正弦曲线

f_{0} \log M

$f_0 \log M$ . 这就是为什么使用

M

$M$ 代替

e

$e$ 导致频率发生变化。

这是一个有趣的问题。让我们看看有哪些非零复数 $w$ 拥有他们“表现得像 $e$ " 在经典公式中，即

e^{z} = w^{z}

$e^z = w^z$ 对于所有复杂的

z = x + i y

$z=x+iy$ . 为方便起见，假设我们可以写

w = r e^{i t}

$w=re^{it}$

符号 $w^z$ 取可能的多个值

w^{z} = e^{z \log w} = e^{(x + i y) (\overset{possible values of \log w}{\overset{⏞}{\ln r + i t + 2 k π i}})} = e^{(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)}

$w^z =e^{z\log w} = e^{(x+iy)(\overbrace{\ln r + it + 2k\pi i}^{\textrm{possible values of $\log w$}})} =e^{(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)}$

这意味着我们将拥有 $e^z=w^z$ 什么时候

(x + y i) - [(x \ln r - y t - 2 k π y) + i (y \ln r + x t + 2 k π x)] = 2 π n i

$(x+yi)-[(x\ln r - yt-2k\pi y) +i(y\ln r + xt +2k\pi x)] = 2\pi n i$ 对于一些

n

$n$ . 但这意味着（通过将两边的实部和虚部等同起来）

{\begin{cases} x = x \ln r - y t - 2 k π y \\ y = y \ln r + x t + 2 k π x + 2 π n \end{cases}

$\begin{cases}x=x\ln r - yt-2k\pi y\\y=y\ln r + xt +2k\pi x + 2\pi n \end{cases}$ 这可能发生在所有人身上

z

$z$ （即，所有

x, y

$x,y$ ）除非

r = e

$r=e$ 和

t = k = n = 0

$t=k=n=0$ .

但这意味着 $w =e\cdot e^{0i}=e$ , 所以没有其他复数 $w$ 这样就可以了。

对于任何一个， $a= e^{ln(a)}$ 因为 ” $e^x$ ”和“ln(x)”是“反函数”。所以

a^{i t} = e^{\ln (a^{i t})} = e^{i t \ln (a)}

$a^{it}= e^{\ln(a^{it})}= e^{it \ln(a)}$ . 然后

a^{i t} = e^{i (t \ln (a))} = \cos (t \ln (a)) + i \sin (t \ln (a)) .

$a^{it}= e^{i (t \ln(a))}= \cos(t \ln(a))+ i \sin(t \ln(a)).$

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