信息处理 - 应用 DFT 两次实际上并不反转数组。相反，第一个元素保留在原位，而数组的其余部分被反转。为什么？ - 吾爱随笔录

应用 DFT 两次实际上并不反转数组。相反，第一个元素保留在原位，而数组的其余部分被反转。为什么？

信息处理 matlab 离散信号自由度

2022-01-13 22:43:33

我听说过一百万次应用 DFT 两次会导致数组反转，但实际情况并非如此。相反，第一个元素保持在原来的位置，其余元素被反转。有一个直观的原因吗？

八度代码：

N = 16;
x = linspace(1, N, N);

fft(fft(x)) / N

结果：

1   16   15   14   13   12   11   10    9    8    7    6    5    4    3    2

3个回答

该序列正是您应该期望的：

\begin{matrix} (1) & x [- n] = x [N - n] \end{matrix}

$x[-n]=x[N-n]\tag{1}$

显然，对于和具有相同的值。 $n=0$ $x[n]$ $x[-n]$

您似乎希望看到序列而不是。如果你想要那个序列，你需要调制第一个 DFT 的结果： $x[N-1-n]$ $x[N-n]$

N = 16;
x = 1:N;
c = exp(-1i*2*pi/N*(0:N-1));
x2 = 真实（fft（（fft（x）。* c）））/N；% real() 只是为了消除舍入错误
x2 =

  16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

是的反转（！）但不是在编程意义上！

在对 N 点序列应用两次 DFT 后得到的序列 $ 是由减号指示的时间反转（并且幅度由缩放）序列在其论点中。 $N \cdot x[-n]$ $x[n]$ $N$

记住你的数学课程，一个带有否定参数的函数，如意味着函数围绕（垂直）y 轴翻转。 $f(-t)$ $f(t)$

然后序列也围绕 y 轴翻转，因此反转。然而，这种反转在某种意义上是特殊的，因为它是模数符号表示的循环反转（DFT 序列反转）： $x[-n]$

x [- n] = x [(- n)_{N}]

$x[-n] = x[ (-n)_N ]$

对于范围，模数扩展如下： $0 \le n < N$

x [(- n)_{N}] = x [N - n] .

$x[(-n)_N] = x[ N- n ] .$

请注意，您可以避免模运算符，并通过简单地将 DFT 序列解释为周期序列 $ 来得出相同的结论。然后将是相反的序列。 $x[n]$ $\tilde{x}[n]$ $\tilde{x}[-n]$

使用傅里叶变换的对偶属性，你有

x [n] \overset{F}{⟷} X [k] ⟹ X [n] \overset{F}{⟷} {\begin{cases} N x [N - k] & for & k = 1, \dots, N - 1 \\ N x [(k)_{N}] & for & k = 0 \end{cases}

$x[n] \overset{\mathcal F}{\longleftrightarrow}X[k]\implies X[n] \overset{\mathcal F}{\longleftrightarrow} \begin{cases}Nx[N - k] & \text{for} & k = 1, \ldots, N -1 \\Nx\left[(k)_N\right]&\text{for}&k = 0\end{cases}$

那么你有：

\begin{aligned} X [0] & = N x [0] \\ X [1] & = N x [N - 1] \\ X [2] & = N x [N - 2] \\ ⋮ & ⋮ \\ X [N - 1] & = N x [1] \end{aligned}

$\begin{align} X[0] & = Nx[0]\\ X[1] & = Nx[N - 1]\\ X[2] & = Nx[N - 2]\\ \vdots &\qquad \vdots\\ X[N-1] & = Nx[1]\\ \end{align}$

其中，对于因素，是的序列。 $N$ $k = 0, \ldots, 15$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇多声道音频上采样插值下一篇现实世界中能量和功率信号的意义