您需要对调制信号进行积分，因为频率是相位的时间导数。因此，微积分入门的典型关系成立：

$$\phi_i(t) = \int_{-\infty}^{t} \frac{d\phi_i(\tau)}{d\tau} d\tau = \int_{-\infty}^{t} 2\pi f_i(\tau) d\tau$$

对于因果信号，积分的下限变为零：

$$\phi_i(t) = \int_{0}^{t} 2\pi f_i(\tau) d\tau$$

$$\phi_i(t) = \int_{0}^{t} 2\pi\left(f_c + k_fm(\tau)\right) d\tau$$

$$\phi_i(t) = 2\pi f_ct +\int_{0}^{t} 2\pi k_f m(\tau) d\tau$$

这是你试图得到的答案。

根据定义，频率是相位对时间的导数（相位变化除以时间变化就是频率）。给出的频率弧度表达式看到这一点：1 Hz 的频率是每秒 1 个周期，即每秒弧度。因此，类似地，相位与时间是频率与时间的积分。$2\pi f$$2\pi$

当您进行 FM 调制时，您正在将幅度单位（例如可能是伏特）与时间转换为瞬时频率与时间的单位。因此，例如，在 1Vpp 上振荡的正弦波使用提供 10Hz/V 的调制指数进行 FM 调制，然后将是某个任意载波频率的信号，该信号在 +/- 5Hz 的范围内来回振荡。因此，在您的方程式中，您的调制信号与频率成正比，并且与所示的平移常数一起具有频率的幅度单位。$m(t)$

现在，如果我们对该信号的瞬时相位与时间的关系感兴趣，如您的方程所示，那么我们需要对频率与时间的信号进行积分以获得相位与时间的关系。

我们的计划是提出一个包含给定声波的载波频率调制振荡的数学表示。

声波是气压的变化，可以用时间m(t)的某个函数来表示（m代表调制，因为我们希望这个信号调制正弦载波信号的频率）。

实际上，m(t)是包含麦克风的某些电路的电流变化，它将气压变化转换为电流的同步变化。

让我们用更数学的术语来讨论载波信号角频率的概念。
频率f，如果恒定，是每单位时间（秒）的振荡周期数。
它通常以弧度每秒表示ω=2πf并且在载波 LC 电路中产生基本振荡的电流的未调制振荡将是
I(t) = A·cos(ω·t)

这个时间的正弦函数I(t)表示电流的振荡可以看作是半径为A的圆上的点的 X 坐标（振荡幅度），中心位于坐标原点，沿圆周逆时针旋转，角速度恒定 ω弧度每其次，假设在t=0时它位于 X 轴上的点(A,0).

因此，更多机械术语中的角频率是角速度。

从现在开始，我们将把上述点的旋转视为正弦振荡的数学表示。

振荡的另一个重要特征是它的相位φ(t)。相位
的定义是旋转点从开始旋转到当前时刻t期间旋转到的角度，可以表示为时间相关函数φ(t)。从这个定义可以立即得出运动学术语距离、速度和概念 之间的类比

相位，无线电电子学中使用的角频率。

从某种意义上说，这个类比是完整的，相位φ(t)和角频率ω(t)之间的关系类似于运动物体所经过的距离S(t)与其瞬时速度V(t)之间的关系。在时间t时刻

的瞬时速度通常是作为时间的函数的非均匀运动，它是运动物体从运动开始到时间t的位置所经过的距离的导数，作为时间函数：V(t) = d
S/ d t = S'(t)

类似地，角频率（有时称为瞬时角频率或简称为瞬时频率）是相位（旋转角）作为时间函数的一阶导数：
ω(t) = d φ / d t = φ'(t)

知道一个运动物体从 start 到t的每一时刻的速度V(t)，我们可以还原这个物体经过的距离S(t)作为时间S(t ) 的函数) = ∫ _[0,t] V(τ) ·d τ


类似地，我们可以恢复相位φ(t)（即一个点从其旋转开始到时刻t旋转的角度），知道每个时刻的瞬时角频率ω(t) 。
φ(t) = ∫ _[0,t] ω(τ) ·d τ

考虑没有任何声音调制的载波 LC 电路中电流的主要振荡方程
I(t) = A·cos(ω ₀ ·t)

函数cos()的参数是恒定角频率（速度）ω ₀与时间的乘积，它是旋转的角距离，或者，使用上面介绍的术语，在时间t φ(t) = ω ₀ ·t的旋转相位 因此，我们对载波信号的表示可以用更一般的形式表示，即使对于非均匀旋转：I(t) = A·cos(φ(t))在具有可变瞬时角频率ω(t) 的非均匀旋转中，我们总是可以从相位推导出该频率：ω(t) = φ'(t) 如果我们想将载波信号I(t)与某个频率调制信号m(t)以这样的方式组合，使得得到的可变瞬时频率








调制信号的ω _mod (t)反映了调制，我们需要满足以下等式：
ω _mod (t) = ω ₀ + m(t)
其中
ω ₀是由其主 LC 电路确定的载波自身未调制的恒定频率,
m(t)是一个调制附加物，用于反射要传输的声波。

我们甚至可以通过将调制指数 λ 作为因子添加到调制器 m(t) 来改变调制对输出信号的影响程度 ： ω mod ( t )
= _ω 0 ₊ λ·m(t )频率

ω _mod (t)和上面关于该频率的相位表达式
φ(t) = ∫ _[0,t] ω(τ) ·d τ
我们可以将调制相位表示为
φ _mod (t) = ∫ _{[ 0,t]} ω _mod (τ) ·d τ

该调制相位将作为载波调制信号的参数
I _mod (t) = A·cos [ φ _mod (t) ] =
= A·cos [∫ _[0,t] ω _mod (τ) ·d τ ] =
= A·cos [∫ _[0,t] (ω ₀ +λ·m(τ)) ·d τ ] =
= A·cos [ ω ₀ ·t+λ· ∫ _[0,t] m(τ) ·d τ ]

作用该公式中调制指数λ的值是定义基本载波频率应随声波频率的变化而变化的显着程度。