我认为问题的一部分是尴尬且不一致的命名约定。傅里叶变换有 4 种风格，具体取决于哪个域是连续的或离散的（映射到另一个域中的非周期性或周期性）。所以我们有

         Name                  Time                  Frequency
Fourier Transform    continous/aperiodic     continous/aperiodic 
Fourier Series       continous/periodic      discrete/aperiodic 
Discrete Time FT     discrete/aperiodic      continous/periodic
DFT or DFS           discrete/periodic       discrete/periodic

一个更好的命名本来是

         Name                  Time                  Frequency
Fourier Transform    continous/aperiodic     continous/aperiodic 
Fourier Series       continous/periodic      discrete/aperiodic 
Discrete FT          discrete/aperiodic      continous/periodic
Discrete FS          discrete/periodic       discrete/periodic

所以离散是指“时间离散，频率周期性”，“系列”是指“频率离散，时间周期性”。换句话说，“系列”意味着和，“变换”意味着积分。离散均值和和连续均值积分。

我们在comp.dsp已经打了很多很多很多次了。DFT 与 DFS 相同。DFT 将周期长度为 N 的离散和周期性数字序列映射到周期长度为另一个离散和周期性数字序列，并且 iDFT（与 DFT 具有相同的形式）将其映射回来。$N$$N$

有些人不喜欢拟人化算法或程序，但我喜欢。DFT“假设”传递给它的个样本是周期序列的一个周期。DFT 定期扩展传递给它的数据。$N$

在数学上很清楚，无论是在 DFT（和 iDFT）的定义中，还是在适用于 DFT 而非线性的任何定理中（DFT 的周期性性质在线性特性中并不明显，但在任何导致一个域中的移位或卷积或与另一个域中的非常数相乘的任何事物）。

这就是为什么，如果不假设周期性（更好的词是“识别”），那么人们需要在索引中使用这种笨重的模符号，例如（这是 O&S 的符号使用），在我看来，这是周期性否认者的一个可悲的坦白，当它归结为底线时，即使他们承认 DFT 本质上是周期性的。$x[ ((n))_N ]$

明确地说，传递给 DFT个样本的周期性扩展是：$N$$x[n]$

其中$\qquad\qquad\qquad ((n))_N \triangleq n \bmod N = n - N \left\lfloor \frac{n}{N} \right\rfloor$

符号表示不超过参数的最大整数的函数。$\lfloor \cdot \rfloor$floor()

要使用DFT 的任何移位或卷积定理，绝对需要索引的这种模算术。对于缩放或叠加定理，不需要这种模算术，但在任何情况下都不会破坏这些定理。

因此，为了保持一致，当将 DFT 用于任何定理以使用 DFT 进行任何实际工作时，应该始终简单地应用模运算。这样做显式地扩展了个样本序列，通过了 DFT。$N$$x[n]$

对我来说，删除波浪号“ ”并简单地说与相同并且相同作为，别再搞这个 DFT 业务了。$\tilde{\ }$$\tilde{x}[n]$$x[n]$$\tilde{X}[k]$$X[k]$

人们应该阅读我很久以前写的关于 DFT 固有周期性性质的另一个答案。

基本上，DFS 用于周期性和无限序列。而 DFT 用于非周期性和有限序列。虽然，它们在数学上是相同的。但它们的性质不同。实际上，我们没有无限信号。我们可以说 DFT 是从 DFS 中提取一个周期。换句话说，DFS 是以的整数倍等间隔对 DFT 进行采样。DFT 是用于计算 DFT 的快速且高效的算法。DFS 对于大多数情况来说已经足够了。但是FT（傅里叶变换）导致更简单的表达。$\frac{2 \pi}{N}$