信息处理 - 估计具有缺失样本的信号的离散傅里叶变换/序列 - 吾爱随笔录

信息处理离散信号信号分析自由度估计傅里叶级数

2022-01-02 02:31:39

假设我们有一个离散信号 ${ \left\{ x \left[ n \right] \right\}}_{n = 1}^{N}$ .
它具有离散傅里叶变换/级数。

现在，假设我想估计它的离散傅里叶级数系数还有一些样本 $x \left[ n \right]$ 丢失（索引是已知的）。

如果不计算自适应傅里叶级数矩阵的伪逆，如何有效地完成呢？

1个回答

给定 $\left\{ x \left[ n \right] \right\}_{n \in M}$ 在哪里 $M$ 是为样本给出的一组指标 $x \left[ n \right]$ .

微不足道的解决方案（我正在寻找更快更有效的解决方案会很棒）将是：

\arg min_{y} \frac{1}{2} {‖ {\hat{F}}^{T} y - x ‖}_{2}^{2}

$\arg \min_{y} \frac{1}{2} \left\| \hat{F}^{T} y - x \right\|_{2}^{2}$

其中 $\hat{F}$ 由与给定样本索引匹配的DFT 矩阵 $F$ $x$ 是给定样本的向量， $y$ 是 x 的全部数据的估计 DFT $x \left[ n \right]$ 。

然后由伪逆（最小二乘解）给出解：

y = {(\hat{F} {\hat{F}}^{T})}^{- 1} \hat{F} x

$y = { ( \hat{F} \hat{F}^{T} ) }^{-1} \hat{F} x$

在实践中，矩阵的条件会非常差，因此必须使用 SVD 使用 LS 解决方案生成解决方案。

示例代码在GitHub Repository上共享。

代码结果：

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