答案很简单。
我会给出 3 点来解决它：

1. 傅里叶变换是线性的。因此$ \mathcal{ F } \left\{ \alpha f \left( x \right) + \beta g \left( x \right) \right\} = \alpha \mathcal{ F } \left\{ f \左( x \right) \right\} + \beta \mathcal{ F } \left\{ g \left( x \right) \right\} $。
2. 时间偏移$ f \left( x - {x}_{0} \right) $等于在傅里叶域中 乘以$ {e}^{-j \omega {x}_{0}} $ 。
3. 与其解决上述情况，不如考虑一下您有 2 个周期为两倍的矩形信号，其中一个信号乘以$ -1 $并移位。

在您的情况下，只需查看正脉冲的信号即可。它的周期为$ 4T $。
你有另一个信号。负脉冲信号。
它与正信号基本上是相同的信号（它也有一个$4T$的周期），但它移动了$2T$并乘以$ -1$。
因此，如果您知道正数的变换，请按照我的上述观点进行操作，您就会得到负数的变换及其总和。

引理：

对于$x_{1}(t)$，傅立叶系数由$C_{n_{1}}$给出

$C_{n_{1}}=\dfrac{\text{幅值}\times \text{ON 持续时间}}{\text{时间周期}}\times Sa\left(n\ .\omega_{0}. \frac{\text{ON 持续时间}}{2}\right)=\dfrac{\tau}{T_{0}}\times Sa\left(n\ .\omega_{0}. \frac{{\tau }}{2}\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi n \tau}{T_{0}}\right)}{n\pi}$

在哪里

$Sa(\lambda x)=\dfrac{\sin \lambda x}{\lambda x}$

对于您的问题： $\tau=T ；T_{0}=4T$

还，

$x(t)$的傅里叶系数为 $ C_{n}=C_{n_{1}}(1-e^{-jn\pi})=C_{n_{1}}[1-(-1) ^n]$（通过使用@ royi 的回答中所述的线性+时移）

$C_{n}=\dfrac{\sin\left(\dfrac{\pi n }{4}\right)}{n\pi}[1-(-1)^n]$

现在您可以使用周期函数的 FT 公式找到傅立叶变换，即 $X(j\omega)$

所以，你的第一种方法是正确的。但是你的第二种方法（使用卷积）很棒（虽然我还没有检查过）