您将在 math-stackexchange 中找到原理的“证明”：幂函数$t^\alpha$的傅里叶变换（标题未提及单位阶跃函数）。至少在形式上，单边幂律的傅里叶变换变成了拉普拉斯变换，看起来很像 Gamma 函数（与阶乘相关的函数）。 您可以在附录 A 章节的第 276 页找到类似的描述 。数学背景，幂律$u(t)$
. 在这个“简单证明”中，我发现令人不安的是幂律函数的收敛性和良好表现的特性不被满足。它们在传统意义上是不可积的，所以应该用回火分布或广义函数来处理，施瓦茨函数比幂衰减得更快。

您可以在 Terence Tao 的博客：245C, Notes 3: Distributions 中找到一个干净的演示。3. 回火分布，围绕方程 9。在维度中（），公式如下：$d$$d=1$

$$\widehat{u(t)t^\alpha}(f) = \frac{\pi^{-(d-\alpha)/2}\Gamma((d-\alpha)/2)}{\pi^{-\alpha/2}\Gamma(\alpha/2)}|f|^{-(d-\alpha)}$$

[注意：这是问题的后续：我可以简化 ] $x=\frac{\ln(|fft((ifft(\sqrt{(f^{-5/3})}))^{2})|)}{\ln(f)}$

我还没有找到参考资料，但它似乎与 FT 的导数/积分属性有关：导数对应于时域中与的乘积（除以）。如果你从单位阶跃函数的 FT 开始，那么我们可以简单地写$n^{th}$$t^n$$i^n$$U(\omega) = \mathscr{F} \{u(t)\}$

$$\mathscr{F} \{u(t)\cdot t^n\} = i^n\frac{d^n}{d\omega^n}\cdot U(\omega)$$

对于 n < 0，您可以使用时间积分或微分。