我将展示如何计算 $N=2$ 测量情况下的 SNR；很容易将结果扩展到一般 $N$。假设信号 $s(t)$ 具有功率 $S$，噪声 $n(t)$ 具有方差 $\sigma^2$ 和零均值。然后，信号 $s(t)+n(t)$ 的 SNR 等于 $S/\sigma^2$。

现在假设您观察 $s(t)$ 两次，每次都有不同的、不相关的噪声 $n_1(t)$ 和 $n_2(t)$，每个都具有零均值和方差 $\sigma^2$。你平均两个观察得到

$$\frac{2s(t)+n_1(t)+n_2(t)}2 = s(t)+\frac{n_1(t)}2+\frac{n_2(t )}2.$$

$n_1(t)/2$ 和 $n_2(t)/2$ 的方差均为 $\sigma^2/4$，因此总噪声方差为 $\sigma^2/2$，SNR 为 $2 S/\sigma^2$，用于提高 2。

出于某种我不明白的原因，关于信号平均的维基百科页面将 SNR 定义为 $S/\sigma$。根据该定义，改进确实是 $\sqrt{N}$。

首先，让我们正确定义问题。给定 $N$ 个观测值 $\left \{ x_i \right \}^{N}_{i=1}$ 而 $x_i \overset{iid}{\sim} {\mathcal{N}}(0, \sigma ^2), \forall i \in \left [ 1,2,\dots, N \right ]$ 我们希望找到与单个样本方差相比样本均值估计量的方差。$N$ observations $\left \{ x_i \right \}^{N}_{i=1}$ whereas $x_i \overset{i.i.d.}{\sim} {\mathcal{N}}(0, \sigma^2), \forall i \in \left [ 1,2,\dots, N \right ]$ we wish to find the variance of the sample mean estimator compared to a single sample variance.

显然，单个样本的方差是$\sigma^2$，现在让我们看看对样本进行平均会如何降低这个方差：$\sigma^2$, now let's see how averaging the samples will decrease this variance:

$$\begin{equation} {\mathrm{Var}}\left [ \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i\right ]\overset{i.i.d}{=} \frac{1}{N^2} \sum_{i=1}^{N} {\mathrm{Var}}\left ( x_i \right ) = \frac{1}{N^2}N\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{N}. \end{equation}$$

所以误差与样本量$N$成反比。事实上，只需再增加一个样本，您的 SNR 就会增加 3dB。$N$. In fact, just by adding one more sample you increase your SNR by 3dB.

请注意，$\sigma^2/N$ 也是线性高斯问题中样本均值的 Cramer Rao (lower) Bound (CRB)，因此这实际上是该问题的最佳无偏估计量。$\sigma^2/N$ is also the Cramer Rao (lower) Bound (CRB) for the sample mean in a linear Gaussian problem, so this is in fact the best unbiased estimator for this problem.

稍微不同的计算是：$\frac{S}{N}=\frac{s+s}{\sqrt{\sigma^{2}+\sigma^{2}}}=\sqrt{2}\cdot \frac{s}{\sigma}$$\frac{S}{N}=\frac{s+s}{\sqrt{\sigma^{2}+\sigma^{2}}}=\sqrt{2}\cdot\frac{s}{\sigma}$

其中 $\frac{s}{\sigma}$ 是每个读数的信号/噪声$\frac{s}{\sigma}$ is the signal/noise for each reading

两个信号相加：$s_{1}+s_{2}$$s_{1}+s_{2}$

两个噪声相加和归一化：$\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}$$\sqrt{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}$