准确地说，线性相位 FIR 滤波器的群延迟是 $(N-1)/2$ 个样本，其中 $N$ 是滤波器长度（即抽头数）。群延迟对于所有频率都是恒定的，因为滤波器具有线性相位，即其脉冲响应是对称的（或不对称的）。线性相位意味着输入信号的所有频率分量都经历相同的延迟，即没有相位失真。因此对于频率选择滤波器（例如，低通滤波器），如果输入信号在滤波器的通带内，则输出信号大约等于延迟了滤波器的群延迟的输入信号。请注意，通常 FIR 滤波器没有线性相位响应。在这种情况下，群延迟是频率的函数。

编辑：

考虑一个具有偶数对称性的奇数长度 FIR 滤波器（“I 型滤波器”）。在这种情况下，群延迟是整数个样本$K=(N-1)/2$。滤波器具有线性相位响应（因为群延迟是相位的负导数），滤波器的频率响应可以写为

$$H(\omega)=A(\omega)e^{-jK\omega}$$

其中$A(\omega)$ 是实值幅度函数，$\phi(\omega)=-K\omega$ 是（线性）相位。如果输入信号的傅里叶变换是$X(\omega)$，那么输出信号的傅里叶变换由下式给出

$$Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)=A(\omega)X(\omega)e^{-jK\omega}\tag{1}$$

现在假设输入信号的频率成分在滤波器的通带内，即在$A(\omega)\approx 1$ 成立的频率区域内。然后从（1）输出信号的频谱可以写为$A(\omega)\approx 1$ holds. Then from (1) the output signal's spectrum can be written as

$$Y(\omega)\approx X(\omega)e^{-jK\omega}\tag{2}$$

并且，根据傅里叶变换的移位特性，输出信号（大约）由下式给出

$$y(n)\approx x(n-K)$$

即$y(n)$ 是输入信号的延迟版本，其中延迟由群延迟$K$ 给出。$y(n)$ is a delayed version of the input signal, where the delay is given by the group delay $K$.

为什么群延迟恒定且接近对称抽头滤波器中抽头数的一半（$h[N−1−n]=h[n]$）？答案在于它是对称的。请注意，FIR 滤波器的 $n^{th}$ 个抽头（系数）可以看作是 $n$ 个“采样间隔”（或 $n$ 个样本）的延迟。$h[N−1−n]=h[n]$)? The answer lies in it being symmetric. Note that the $n^{th}$ tap (coefficient) of an FIR filter can be seen as delay of $n$ "sampling intervals" (or $n$ samples).

因此，如果您选择该滤波器的一对“对称”抽头/系数（例如在 $n_1$ 和 $N-n_1-1$），并通过正弦信号 $\sin(\omega t)$这对，你会看到这个传递的输出是一个相同频率的正弦信号 $\omega$ 但延迟是两个抽头延迟的平均值，即 $(N-n_1-1+n_1) /2 = (N-1)/2$。这是简单的数学运算，即尝试将$\sin(\omega t-t_0-t_1)$和$\sin(\omega t-t_0+t_1)$相加，总和为$K*\sin(\omega t- t_0)$。对所有 $N/2$ 对执行此操作，您会发现所有对都有 $t_0 = (N-1)/2$ 的时间延迟。请原谅我的极端简洁和延迟回复。我希望我明白了这一点。$n_1$ and $N-n_1-1$), and pass a sinusoidal signal, $\sin(\omega t)$, through this pair, you would see that the output of this passing is a sinusoidal signal of the same frequency $\omega$ but with a delay which is an average of the two tap delays, i.e., $(N-n_1-1+n_1)/2 = (N-1)/2$. It is simple math, i.e., try adding $\sin(\omega t-t_0-t_1)$ and $\sin(\omega t-t_0+t_1)$, the sum is $K*\sin(\omega t-t_0)$. Do this for all $N/2$ pairs and you will find all will have a time delay of $t_0 = (N-1)/2$. Please excuse my extreme brevity and delay in replying. I hope I got the point across.

回答您的第二个问题：为什么线性相位对滤波器响应如此重要。将滤波器视为一个通道，当您从通道传递信号时，您想要的是将所有频率分量延迟相同数量的样本，如果不同的频率分量延迟不同的值，那么您的信号就会出现失真，这是比特难以补偿，而恒定延迟可以通过接收器的一些简单技术来补偿。线性相位或恒定群延迟表示所有频率（滤波器响应是线性的）都延迟相等的量。因此，您的输出信号只是输入信号的移位版本。