对于连续时间系统，位置$s_0=\sigma_0+j\omega_0$处的极点将创建以下形式的时域贡献

$$e^{s_0t}=e^{\sigma_0t}e^{j\omega_0t}\tag{1}$$

如果极点在左半平面（即$\sigma_0<0$），并且如果极点不在实轴上（即$\omega_0\neq 0）$ ，则这是一个阻尼振荡。对于$\omega_0=0$，没有振荡。实值一阶系统就是这种情况，它只能有一个实值极点。

对于离散时间系统，$z_0=re^{j\omega_0}$ ( $r\ge 0$ ) 处的极点导致以下形式的序列

$$z_0^n=r^ne^{j\omega_0n}\tag{2}$$

如果极点在单位圆内（即$r<1$），则该序列的幅度将衰减。请注意，仅当$\omega_0=0$（即，如果极点位于正实轴上）时，序列才会振荡。如果极点是实数，但如果它是负数，我们有$\omega_0=\pi+2\pi k$，即我们有一个最大频率的振荡，对应于一个交替序列。

总之，对于连续时间系统，如果极点在实轴上，则不会引起振荡。对于离散时间系统，仅当极点位于正实轴上时才不会发生振荡。负实轴上的极点引起最大频率的振荡。因此，如果极点恰好位于负实轴上，则离散时间实值一阶系统可能会出现振荡。

为了进一步了解，请考虑$s$ -plane 和$z$ -plane之间的精确映射：

$$z_0=e^{s_0T}\标签{3}$$

其中$T$是采样间隔。$(3)$的反转给出

$$s_0=\frac{\ln(z_0)}{T}\tag{4}$$

负实轴上的$z$ -plane 极点$z_0=-r$ ( $r>0$ ) 映射到$s$ -plane 中的复值极点：

$$s_0=\frac{\ln(-r)}{T}=\frac{\ln(r)}{T}\pm j\frac{\pi}{T}\tag{5}$$

频率$\omega_0=\pi/T$对应采样频率的一半，即对应离散时间系统的最大频率。

最后一点，振荡与系统是否稳定（有界输入有界输出意义上的稳定性）无关。为了稳定性，只有极点对输出信号的贡献是否衰减才重要。

在第一种情况下，您在该位置 (-0.7) 有一个极点。在第二种情况下，您的极点为 0.7。

在 -0.7 处有一个极点意味着系统的固有频率为 fs/2，这就是为什么在 fs/2 处有一个振荡。由于极点是稳定的，即在单位圆内，振荡最终会减弱。

编辑：您碰巧在最大频率 fs/2 处有一个极点，具有低阻尼，这就是它振荡的原因。连续系统没有最大频率。这个离散系统没有连续的等价物……至少，这是我的直觉。

真正的连续时间系统比离散时间系统有更多的限制。

原因是$\dot{x} = f(x)$形式的一阶连续系统不能传递到均衡的“另一边”。离散时间系统没有这样的限制。

它与系统的极点无关，不需要是线性的。

离散时间系统$x_{n+1} = {1 \over 2} x_n$ 和$x_{n+1} = -{1 \over 2} x_n$都是指数稳定的。第一个系统可以是一阶连续时间系统的采样版本，第二个不能。