假设您有两个信号，假设它们使用相同的脉冲整形滤波器$p(t)$，并假设它们的代码$\mathbf{s}_1$和$\mathbf{s}_2$是正交的（$<\mathbf{s}_1,\mathbf{s}_2>=0$ ) 和长度$N$。两个脉冲整形信号是$x_1(t)=\sum_n s_1[n]p(t-nT)$和$x_2(t)=\sum_ks_2[k]p(t-kT)$，其中符号$s_1 [n]$表示向量$\mathbf{s}_1$的$n^{th}$元素。所以我们要测试脉冲整形信号是否正交，我们需要计算内积：

$<x_1(t), x_2(t)>=\int x_1(t)x_2^*(t)dt=\int \bigg[\sum_{n=1}^N s_1[n]p(t-nT )\bigg]\bigg[\sum_{k=1}^N s_2[k]p(t-kT) \bigg]^* dt$

将积分拉入内部并分配共轭：

$=\sum_n \sum_k s_1[n] s_2^*[k] \int p(t-nT)p^*(t-kT) dt$

假设我们有零 ISI，即所有$n \neq k$的$\int p(t-nT)p^*(t-kT)dt=0$，并且让脉冲的能量为$E_p $我们得到：

$=NE_p \sum_n \sum_k s_1[n] s_2^*[k]$

我们需要看看这是否可以等于零。首先，很明显$NE_p \neq 0$所以现在我们检查什么时候可以$\sum_n \sum_k s_1[n] s_2^*[k]=0$？我们可以将其分解为：$\sum_n s_1[n] \sum_k s_2^*[k]$。如果$\sum_k s_2^*[k] =0$，那么我们都准备好了，整个事情都变成了$0$。对于具有$\pm1$元素的代码，这相当于$1$的数量与$-1$的数量相等。

但是，并非所有正交码都是这种情况。以任何 Hadamard 矩阵为例，它的代码之一是所有$1$的代码，其余的 $1$ 的数量与$ -1$的设计相同。

全 1 的代码如何成为正交集的一部分？这就是分解项$\sum_n s_1[n] \sum_k s_2^*[k]$ 有帮助的地方。假设$\mathbf{s}_2$是所有$1$的代码（所以总和$\neq 0$，我们称之为总和值$S_2^*$），另一个代码$\mathbf{s}_1 $ “保存”正交性，因为那样我们将有$\sum_n s_1[n] S_2^*=S_2^* \sum_n s_1[n]=0$。

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添加一些有助于理解要点的代码。查看相关矩阵很有帮助，因此您可以直观地看到“泄漏”干扰的数量。正如您所期望的那样，矩形脉冲几乎是完美的，并且 RRC 允许通过少量非对角线元素。增加滤波器长度可以进一步将这些下推到 RRC 和矩形脉冲表现相似的点。MATLAB代码：

% parameters
sps = 10;
span = 6;
rolloff = 0.25;
codeLength = 4;
H = hadamard(codeLength)/sqrt(codeLength); % normalize so that unit norm
H_up = upsample(H, sps);
rrcPulse = rcosdesign(rolloff, span, sps, 'sqrt'); % pulse filter
rectPulse = rectpulse(1, sps)/sqrt(sps); % normalize

% x(:, n) is the n^th pulse shaped signal
for n = 1:codeLength
   x1(:, n) = conv(rrcPulse, H_up(:, n)); % RRC pulse shaped
   x2(:, n) = conv(rectPulse, H_up(:, n)); % rectangular pulse shaped
end


R1 = x1'*x1; % correlation matrix for RRC pulse
val = maxk(R1(:), codeLength+1);
maxOffDiagonalVal1 = val(end); % this is the max interference from a different code


R2 = x2'*x2; % correlation matrix for rectangular pulse
val = maxk(R2(:), codeLength+1);
maxOffDiagonalVal2 = val(end); % this is the max interference from a different code


figure
imagesc(R1)
xlabel('Signal #')
ylabel('Signal #')
title('Correlation Matrix (RRC)')
c = colorbar;
c.Label.String = 'Correlation';

figure
imagesc(R2)
xlabel('Signal #')
ylabel('Signal #')
title('Correlation Matrix (Rect)')
c = colorbar;
c.Label.String = 'Correlation';

通常对于脉冲整形滤波器和任何正交码族：否。

更新：请参阅@Engineer 的答案，我通过排除 Walsh 代码集中的第一行（所有 1 行）来确认其余行的余额为 1 和 0 确实都是正交的。

*第二次更新：@MBaz 在这里指出，使用 Root-Raised Cosine 滤波，整个代码集将保持正交：Orthogonal Codes for Band Limited Channel

详细的数学证明以及可以保持正交性的标准将是一个更好的答案，但是由于没有人提交过，我至少在这里提供了一个模拟结果，该结果演示了一个正交族的特定示例，其中在脉冲整形之后升余弦滤波器不保持正交性。（考虑到升余弦滤波器的零 ISI 特性，原始信号当然可以在没有失真的采样位置提取，因此提取的信号在采样后仍然是正交的，但问题具体在于脉冲波形本身（$g(n)*s_n(n)$）

正交信号的正式定义是它们的内积（也称为点积）为零。

考虑 Hadarmard $H_4$矩阵的一个简单情况，每一行形成一组四个正交沃尔什码：

$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\1 & -1 & 1 & -1\\1 & 1 & -1 & -1\\1 & -1 & -1 & 1\end{bmatrix }$

在脉冲整形之前，很容易确认正交性，例如在第 1 行和第 2 行之间使用索引乘积和总和的点积：

$$(1\times1)+(1\times-1)+(1\times1)+(1\times-1) = 0$$

同样在第 1 行和第 4 行之间： $$(1\times1)+(1\times-1)+(1\times-1)+(1\times1) = 0$$

使用升余弦滤波器对该组进行仿真的结果表明，在前两行的情况下保持正交性，但不在第 1 行和第 4 行之间。前两行在上采样 10 后得到的波形和下图显示了带升余弦滤波器的脉冲整形（解码原始信号的样本位置在样本 50、60、70 和 80）：

这两个波形的计算点积为$4.4E-16$。（足够接近零，所以正交）。

第 1 行与第 3 行同样相当低，为 9.1E-16 美元（再次正交）。

然而 ，第 1 行与第 4 行是$-0.465$，这是一个非常强的相关性，并且显然不再正交。

显示脉冲形状的第 1 行和第 4 行的图如下所示。

点积是逐个样本的乘积，然后是结果的总和（或积分）。每个波形对的乘积图可以进一步了解正交性的损失。注意脉冲形状的第 1 行和第 2 行的乘积非常对称，曲线下的正负面积相似，而脉冲形状的第 1 行和第 4 行的乘积具有明显更大的负面积，从而破坏了正交性这种情况：