为什么我们仍然有量化噪声$\Delta^2 \over 12$

您需要更仔细地阅读：这是连续均匀分布的信号幅度和等距步长的量化噪声。

此信号模型显然不适用于您的示例信号！

请注意，您的示例信号仅采用离散值 - 因此已经量化。在这种情况下，将您的 ADC 视为量化器是不公平的。它可能更像是一个离散值映射器。

为什么量化噪声不能为零？

时间离散量化信号始终具有有限熵¹，而使用与离散源相同的度量，值连续源具有“无限熵”。假设我们将连续值源构建为不断增加的细粒度量化源，很明显，离散值源和连续值源中的信息量存在差异。

信息上的差异必须“去”某个地方。因此，在量化过程中需要“丢失”大量信息，我们可以认为这相当于覆盖原始信号的噪声。

¹ 这是来自该来源的符号信息的期望，即

严格来说，没有随机过程在 ADC 转换器的输出端注入均匀分布的随机噪声，间隔严格来说，根本没有量化噪声。$n \in \left (-\frac{LSB}{2}, \frac{LSB}{2} \right ]$

严格来说，量化是一个纯粹的确定性（即无噪声）非线性过程，它将连续信号转换为典型的阶梯量化。

因此，严格来说，即使考虑量化噪声也是错误的。

但是，通过将量化视为纯确定性非线性来“正确”分析其中具有量化步骤的系统在数学上是不可行的。不求助于模拟不仅很难做到（因此失去了做出概括性结论的机会），而且是不可能的。

所以我们引入量化噪声。这是一个虚构的噪声过程，它允许我们将量化步骤视为具有注入噪声的线性系统。我们可以精确地分析这样的系统，以某种方式给我们提供既准确又概括的结果。

当我们将量化噪声引入分析时，我们是在用我们无法分析的系统的精确表示换取我们可以分析的系统的近似表示。作为奖励，在有用的系统中，系统的量化行为通常非常接近量化噪声模型，以至于作为非线性的量化（真实系统）和作为注入噪声的量化（虚构）之间的整体系统行为没有实际差异。

请注意：作为线性系统加上注入的高斯白噪声的量化模型并不总是正确的。有很多中间立场，但有两个端点。

一个这样的端点是一个系统，它的噪声等于进入 ADC 的几个 LSB，并且其 ADC 输出在使用前被平均或过滤。这方面的一个例子是无线电前端，其中您有一个带有高带宽噪声的高带宽信号，该信号被采样然后处理成一个窄带信号。这样的系统具有量化噪声，其效果与注入的高斯白模型非常接近，您不必担心它。

另一个端点是一个非常安静且变化缓慢的系统，并且正在进入一个相当粗糙的 ADC。在这种情况下，您不能将量化噪声视为高斯白噪声。我亲自处理过的一个例子是一个伺服回路，它在反馈路径中有一个老式的 8 位 ADC。你可以看到这个东西在一个 ADC 计数附近振荡，试图击中一个“介于”LSB 之间的目标。

当量化噪声的白高斯近似不成立时，您必须使用其他近似，或者不使用量化噪声近似。在大多数情况下，我处理过的唯一一种白色高斯近似不成立的情况，我可以将量化视为最坏情况下的正弦曲线我给定系统的频率。这将 (A) 给我一个悲观的预测；如果我的系统“通过”这种噪声，它将在现实生活中工作，并且（B）对于闭环控制来说并不太准确，其中振荡通常会寻找最差频率的情况。$\frac{2}{\pi}\ LSB$

您似乎不想遵循统计方法来定义量化误差；但不幸的是，你必须这样考虑。

特别地，误差功率表示均匀量化器，其输入信号均匀分布，误差分布在 和之间，是量化步长。$\Delta^2/12$$-\Delta/2$$\Delta/2$$\Delta$

因此，误差功率不会出现在每个量化样本上，而是具有足够大量量化样本的样本集的误差功率的期望值（或平均值）。$\Delta^2/12$

在这方面，有零误差的样本以及具有最大误差的样本（对于有界（不饱和）输入信号然而，误差功率的期望值（对于均匀分布的误差）恰好是。$\pm \Delta/2$$\Delta^2/12$

请注意，顺便说一下，错误的预期值为零......

许多用于信号处理的数学模型假设系统将以线性方式运行。取两个信号，对它们执行一些处理，然后将输出相加，将产生与将信号相加相同的结果，将总和输入同一处理，并将其输出作为最终结果。这样的模型不适用于量化系统。

另一方面，如果将量化步骤建模为获取信号并添加“量化噪声”分量的过程，该分量的强度可能介于零和实际值与采样值之间的最大可能差异之间，则可以计算出最差-线性系统和不同阶段的输入或输出以各种方式量化的系统之间的情况差异。

请注意，与可以预期具有可预测的频谱特征的某些其他形式的噪声不同，量化噪声应该被假定具有最大程度令人讨厌的任何频谱特征，因为在实践中，它通常会如此。另一方面，如果可以证明一个过程的输出处的量化噪声量不会超过输出处的 -57dB，并且它足够安静，即使是最烦人的频谱特征组合仍然是可以容忍的，人们可以保证量化不会导致不可接受的退化，而无需精确地对量化的影响进行精确建模。

在某些情况下，可能希望避免频谱特性的“最烦人”组合。这可以通过在量化之前向输入信号添加某些形式的噪声来实现。这将增加输出中的总噪声水平，但确保大部分噪声具有良性频谱特性。具有 -57dB 最差频谱特性频谱噪声和 0dB 其他噪声的信号可能比具有 -50dB 频谱平坦噪声和 -60dB 最差频谱特性噪声的信号更令人反感。在这种情况下，量化过程最终会添加比其他方式更多的噪声，但其他噪声的存在可能有助于掩盖光谱上令人反感的部分。