当然，根据定义，\$s = \sigma + j\omega\$。发生的事情是 \$\sigma\$ 被忽略，因为它被假定为零。其原因是我们正在研究系统对周期性（因此是非衰减）正弦信号的响应，拉普拉斯可以方便地沿虚轴简化为傅立叶。拉普拉斯域中的实轴表示纯信号没有的指数衰减/增长因子，傅立叶没有建模。

对于 AC 分析，假设电路具有正弦源（具有相同的角频率\$\omega \$）并且所有瞬态都已衰减。这种情况称为正弦稳态或交流稳态。

这允许在相量域中分析电路。

使用欧拉公式，我们有：

\$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t}) \$

与 \$v(t)\$ 相关的相量是 \$\vec V_a = Ae^{j\phi}\$，它只是一个复常数，包含时域信号的幅度和相位信息。

因此，在这些条件下，我们可以通过跟踪相量电压和电流并使用以下关系来分析电路：

\$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L \$

\$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C} \$

\$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R \$

然后我们通过欧拉公式恢复时域解。

现在，相量分析和拉普拉斯分析之间有着深刻的联系，但重要的是要记住 AC 分析的完整背景，即：

（1）电路有正弦源（同频\$\omega\$）

(2) 所有瞬变都已衰减

拉普拉斯变换传递函数 (TF) 分析给出了对从 t=0 开始的正弦输入信号的完整响应。该解通常包含以指数方式衰减到零的瞬态项，以及在指数消失后仍然存在的稳态项。当我们有 TF 的极点和零点时，例如 s=-a+jw，'-a' 部分给出指数 (e^-at) 响应，jw 部分给出正弦稳态响应：(e ^jwt) = cos(wt) + jsin(wt)。如果我们只对响应的稳态部分感兴趣（如频率响应分析中的情况），那么我们可以在 TF 中使用替换 s=jw。

请注意，e^jx = cos(x) + jsin(x) 是“欧拉恒等式”，是科学和工程中最重要和最有用的关系之一。

选择\$S=j\omega\$ 来评估交流信号的原因是它允许将拉普拉斯变换转换为傅里叶变换。

原因是虽然 S 是一个复变量，但傅里叶表示中使用的只是旋转（虚数）分量，因此 \$\sigma=0\$。

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