我最近建立了一个模拟来研究采样、混叠的影响以及抗混叠滤波器对采样信号的影响。
对于高于采样频带的基频，很明显会在采样信号中看到“冒名顶替者”。使用抗锯齿过滤器，我可以消除冒名顶替者。
但是，如果我宁愿将宽带噪声（实际上是白噪声）信号强加到采样器中，那么是否存在抗混叠滤波器并没有太大区别。在任何一种情况下，峰间噪声都是相同的。当然，噪声的带宽已经改变。
但此外，我希望采样频带外的（冒名顶替的）混叠宽带噪声叠加在真正通过采样频带的宽带噪声上，从而“堆积”更大的峰峰值电平。
为什么这不会发生？
我应该提到我的仿真时间步长在 MHz 和我正在研究的系统在 1 kHz 范围内。因此，该系统实际上处于一个连续的世界中。
您是对的：采样后，混叠噪声分量确实堆积在奈奎斯特频率以下的频带中。问题是堆积起来的究竟是什么，它的后果是什么。
在下文中，我假设我们处理建模为广义平稳 (WSS) 随机过程的随机噪声，即我们可以为其定义功率谱的随机过程。若\$N(t)\$为噪声过程，\$R_k= N(kT)\$为采样噪声过程（采样周期为\$T\$），则\$R_k\$的功率谱是 \$N(t)\$ 功率谱的别名版本：
$$S_R(f)=f_s\sum_{k=-\infty}^{\infty}S_N(f-kf_s)\tag{1}$$
其中 \$f_s=1/T\$ 是采样频率。当然，如果 \$N(t)\$ 是带限的（情况总是如此），那么只有有限数量的 \$N(t)\$ 移动功率谱在感兴趣的带 \$ 中相加[0,f_s/2]\$。
噪声功率由相应功率谱的积分给出。在 \$N(t)\$ 的情况下，我们必须在 \$N(t)\$ 的整个带宽上积分，而在采样噪声 \$R_k\$ 的情况下，我们必须在频带中积分\$[0,f_s/2]\$. 从 (1) 可以清楚地看出，在这两种情况下，我们获得了相同的功率，因为要么我们整合了原始功率谱 \$S_N(f)\$，要么我们在频带 \$ 中整合了一个混叠（即堆积）版本[0,f_s/2]\$。
因此，无论采样频率如何，采样后噪声功率都不会改变。采样噪声与原始连续时间噪声具有相同的功率。
因此，仅当您更改连续时间噪声的功率时，采样噪声的功率才会发生变化，这可以通过抗混叠滤波器来完成，因为滤波器降低了噪声带宽，从而降低了噪声功率。注意，只看峰峰值并不能说明什么，因为需要考虑功率。
EA Lee，DG Messerschmitt：数字通信，第 2 版，第 3.2.5 节（第 64 页）
采样信号所代表的能量只与输入信号的PDF（概率密度函数）和采样频率有关。输入信号的实际带宽不会影响这一点。
换句话说，当您对宽带信号进行欠采样时，您会得到一组与原始宽带信号具有相同 PDF 的样本，但这些样本的有效带宽仅为 Fs/2。超出该带宽的“多余”能量根本不会被采样过程捕获。
如果将采样率提高一倍，您将“捕获”两倍的能量。
当您在保持 PSD 不变的同时增加带限连续实际白噪声的双边谱宽时，方差 R XX (τ=0) = σ² 是噪声带宽乘以噪声的 PSD，即方差以 2B 的速率增加，其中 B 是基带带宽。自相关函数是高度 σ²= N 0 B/2 的正弦函数。PSD的大小为N 0 /4 = σ²/2B。随着带宽趋于无穷大，您将获得无穷大的方差。或者，如果您固定方差并产生具有该固定方差的真正连续过程，您最终会得到无限的光谱宽度和 σ²T s的 PSD，即 T s为 0→ 0 使得 PSD 下的区域仍然是功率（固定方差）。由于这个原因，真正的连续白噪声过程必须具有无限方差，以使 PSD 不为零。实际情况是，电阻器的热噪声的 PSD 固定在一个平坦的 K B T（玻尔兹曼常数乘以噪声温度），但在较高频率下逐渐变细至 0，这就是热噪声的原因电阻的功率是有限的。当以奈奎斯特速率采样并重建时，PSD 为 K BT. 如果以两倍奈奎斯特速率进行采样，热噪声保持在相同的带宽内，并且 PSD 不会改变，这与量化噪声不同，这是因为连续热噪声不是真正的连续过程，因为对热噪声进行过采样噪声不会引入更多随机变量，而只是基于固定数量的随机变量的一系列连续线性泛函的样本，但量化噪声的额外样本被认为是单个随机变量，因此噪声确实均匀分布在采样频率带宽。噪声的带宽取决于随机变量的间距。连续过程具有无限带宽，但 PSD 也趋于 0，这就是为什么必须增加真正的白噪声方差并趋于无穷大的原因。
PSD = K B T 也不取决于噪声的时间长度。因为噪声是一个随机信号，采样噪声的离散PSD始终是方差，无论有多少样本或噪声有多长，因此无论时间长短，重构的噪声PSD始终为σ²T s，所以它总是那个PSD，即N 0 /4。注意 N 0、 N 0 /2 和 N 0 /4之间的区别. 以噪声过程的确定性实现（随机游走）的周期图为例，该周期图恰好具有噪声能量的预期值，但不是能量在频率上的预期分布。如果您有一个需要随机分布在离散频率上的随机能量，那么预期值将是 E 除以频率数。一个这样的例子是所有时间样本都等于形成离散矩形窗口的噪声的标准偏差。周期图上 0 rad 频率处的幅度为 σ²N。其他样本为 0。它的预期能量为 σ²N，但每个频率的预期能量为 σ²N/N = σ²。无论有多少样本，即无论噪声在时间上的持续时间如何，这都不会改变。
当您以噪声的奈奎斯特速率对白噪声进行采样时，对自相关函数进行采样并且 R XX (0) = σ²δ(t)。PSD = σ² = N 0乙/2。如前所述，连续白噪声过程功率谱在时间截断时根本没有变化，但是当频谱带宽增加时，方差（时域中的功率）以 2B 的速率增加，并且 PSD 确实没变。无限带宽finite-PSD白噪声具有无限的方差，但是当它被采样时，离散的PSD变成了方差，它是无限的，这是由于采样率小于奈奎斯特率导致的混叠图像的重叠光谱密度。只要您至少对带限噪声的奈奎斯特速率进行采样，就没有重叠。如果您以奈奎斯特速率的一半进行采样，那么噪声当然是两倍，并且不相关（因为离散自相关函数在所有样本中仍然为 0），噪声与离散自相关函数相关，在时域中滞后于 0 以外。
在采样带限（至 2B）白噪声情况下，PSD 为 σ²，但当使用 T s宽度脉冲重构时，新的连续白噪声过程的 PSD 变为 σ²T s，即 σ²/2B。方差保持不变，但 PSD 现在是 PSD = σ²T s = N 0 /4 而不是 PSD = σ² = N 0 B/2（至少我认为这就是这个定义）。这种连续的白噪声过程是由离散数量的线性泛函形成的，这些线性泛函基于离散样本的值，因此实际上仍然是离散过程，而不是真正的连续过程。
请注意，PSD 是周期图的预期值。周期图是随机过程的单个记录/行走/实现。单一实现是一个确定性信号，当您看到“白噪声的 PSD”时通常会显示这种信号，并且它并不完全平滑——它显示的是白噪声的单一实现的 PSD。如果您以低于奈奎斯特速率对连续白噪声进行采样，则每次实现都会有重叠，如果只有 2 个图像重叠，则重叠位置的预期值为 2σ²。原始信号中的所有功率（除以采样周期 T s）始终存在于采样带宽中，因此 SNR 不会改变。
对于确定性信号， SNR 定义为 (RMS S )² / (RMS N )²，对于 WSS 随机信号，SNR 定义为 E[S(t)²] / E[N(t)²]，其中 E 是整体平均值 (进一步的时间平均值无关紧要，因为过程中所有变量的均值和方差都相同）。由于 E[S(t)²] = (μ S )²+(σ S )²，所以定义为 ((μ S )²+(σ S )²) / ((μ N )²+(σ N ) ²)，其中 (σ S )² 是随机过程中所有变量的方差。如果噪声和信号的整体均值为零，则简化为 (σ S )² / (σ N )²。简化为 (μ S )² / (σN )² 如果信号没有整体方差，即它是一个常数。符号方面，应使用 σ 和 μ 来指代集合均值和方差，而不是确定性信号的 RMS（时间标准偏差）和时间均值（我还看到 μ 用于 RMS 和 μ² 用于 MS） . 由于信号通常是确定性的且噪声是随机的，因此符号应为 (RMS S )²/ E[N(t)²]。符号 E[X(t)] 被解释为整体均值，因此如果 X(t) 是确定性信号，则等于 X(t)，而不是信号的时间均值，应使用条形表示但我想我已经看到了期望被用于此目的。