叠加定理
“电路的叠加定理指出，对于线性系统，具有多个独立源的双边线性电路的任何分支中的响应（电压或电流）等于每个独立源单独作用引起的响应的代数和，所有其他独立源都被它们的内部阻抗所取代。”

什么样的电路可以通过叠加解决？

可以使用叠加定理解决由以下任何组件制成的电路

• 独立来源
• 线性无源元件 - 电阻器、电容器和电感器
• 变压器
• 线性相关源

使用叠加定理求解电路的步骤是什么？

遵循算法：

1. 答案 = 0;
2. 选择第一个独立源。
3. 用其内部阻抗替换原始电路中除所选源之外的所有独立源。
4. 计算感兴趣的量（电压或电流）并添加到 Answer。
5. 如果这是最终的独立来源，请退出。否则转到第 3 步，选择下一个来源。

电压源的内阻为零，电流源的内阻为无穷大。因此，在执行上述算法中的步骤 3 时，用短路替换电压源和用开路替换电流源。

叠加求解时如何处理不同类型的源？

独立来源的处理如上所述。

如果是依赖源，请不要触摸它们。

叠加仅适用于纯线性系统，即：

\begin{align*} F(x_1 + x_2) &= F(x_1) + F(x_2)\\ F(ax) &= a F(x) \end{align*}

在电路分析的上下文中，电路必须由具有 N 个独立源的线性元件（电容器、电感器、线性变压器和电阻器）组成，并且您要解决的问题必须是电压或电流。请注意，您可以对电压/电流采用叠加解决方案来找到其他非线性量（例如电阻器中消耗的功率），但您不能叠加（添加）非线性量来找到更大的解决方案系统。

例如，让我们用一个电阻器看看欧姆定律（我分别使用 U 和 J 表示电压/电流，没有特别的原因），看看来自源 \$i\$ 的电流如何影响电压：

\begin{align*} U = JR = R \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) = \sum_{i=1}^NR J_i = \sum_{i=1}^N U_i \结束{对齐*}

因此，我可以通过将每个来源的电流贡献相加来找到电阻器上的电压，而这些电流贡献独立于任何其他来源。同样，要找到流过电阻的电流：

\begin{align*} J = \frac{U}{R} = \frac{1}{R} \sum_{i=1}^N U_i = \sum_{i=1}^N \frac{U_i} {R} = \sum_{i=1}^N J_i \end{align*}

但是，如果我开始研究功率，叠加将不再适用：

\begin{align*} P = JU = \left(\sum_{i=1}^N J_i\right) \left(\sum_{j=1}^N U_j\right) \neq \sum_{i=1 }^N J_i U_i = \sum_{i=1}^N P_i \end{align*}

使用叠加求解电路的一般过程是：

1. 对于每个源\$i\$，将所有其他源替换为等效的零源，即电压源变为0V（短路），电流源变为0A（开路）。对于您感兴趣的任何未知数，找到解决方案 \$F_i\$。
2. 最终解是所有解\$F_i\$的总和。

示例 1

以这个电路有两个来源：

^{模拟此电路- 使用CircuitLab创建的原理图}

我想求解流过 R1 的电流 J。

选择 V1 作为源 1，选择 I1 作为源 2。

求解 \$J_1\$，电路变为：

^{模拟这个电路}

所以我们知道\$J_1 = 0\$。

现在求解 \$J_2\$，电路变为：

^{模拟这个电路}

所以我们可以发现\$J_2 = I_1\$。

应用叠加，\begin{align*} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \end{align*}

示例 2

^{模拟这个电路}

现在我对通过 R4 的电流 \$J\$ 感兴趣。按照前面概述的一般过程，如果我将 V1 表示为源 1，将 V2 表示为源 2，将 I1 表示为源 3，我可以找到：

\begin{align*} J_1 &= -\frac{V_1}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J_2 &= \frac{V_2}{R_2 + R_1 + R_4 + R_5}\\ J_3 &= -I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \end{对齐*}

因此最终的解决方案是： \begin{align*} J &= J_1 + J_2 + J_3 = \frac{V_2 - V_1}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} - I_1 \frac{R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5)}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}

叠加的力量来自于问“如果我想添加/删除源怎么办？” 说，我想添加一个电流源 I2：

^{模拟这个电路}

而不是从头开始，我现在唯一需要做的就是找到我的新源 I2 的解决方案并将其添加到我的旧解决方案中： \begin{align*} J_4 &= I_2 \frac{R_1 + R_2 + R_5}{R_1 + R_2 + R_5 + R_4}\\ J &= \sum_{i=1}^4 J_i = \frac{(V_2 - V_1) - I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5 )}{R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \end{align*}