这个实验是否表明当电路中存在变化的磁场时基尔霍夫定律成立?

电器工程 电感器 磁学 基尔霍夫定律 探测
2022-01-29 07:33:09

在这段视频中,电气工程师和 youtuber Mehdi Sadaghdar (ElectroBOOM) 不同意Walter Lewin 教授的另一个视频

基本上,Lewin 教授在实验中表明,如果我们将两个不同的电阻连接在一个闭环中,并且如果我们使用线圈产生变化的磁场,则两个电阻端点处的电压会有所不同,这与预期相反来自基尔霍夫电压定律 (KVL)。

示意图

模拟此电路- 使用CircuitLab创建的原理图

根据实验,左侧电压表 VM1 显示的电压与第二个电压表 VM2 不同。Lewin 然后得出结论,当磁场发生变化时,KVL 不成立。他给出的数学理由是磁场是非保守的,只有在磁场保守的情况下,才可以从麦克斯韦方程组推导出 KVL。然后他说这个实验证明了他的说法。

另一方面,迈赫迪指出了两件事:首先,探测的方式是不正确的。变化的磁场对探头线有影响,这就是电压表根据位置改变值的原因之一。

其次,他说因为有一个回路,所以回路就像一个电感器,与线圈一起形成互感器:

示意图

模拟这个电路

我理解 Lewin 对 KVL 的推导,所以我知道非保守磁场存在问题,但同时我认为 Mehdi 是对的:那个回路是一个电感器,而 Lewin 探测电路的方式看起来不对我。那么这里的错误在哪里呢?

  • KVL 在上面的电路中是否成立?
  • 探测是否正确?
  • 电路是否有不容忽视的互感器?
4个回答

应用 KVL 的集总组件模型就是这样的模型。像所有模型一样,它们仅在代表它们所反映的系统的相关特征的范围内是准确的。两个电阻器模型的简单回路并不代表构成电路的导电路径对感应电动势的敏感性,因此这个简单的模型将不能反映真实电路在感应电动势发生的现实世界中的行为。

通过在电阻器之间加入电感器和代表提供变化磁场的螺线管的附加电感器,可以使简单模型更加准确。通过考虑这些电感器的耦合,可以将感应电动势纳入模型,从而获得更好地反映现实的结果。在 Lewin 的演示中,一个相当完整的情况模型如下所示(来源),这也是 Mehdi Sadaghdar 所展示的。请注意,模拟这种集总元素模型的结果与 Lewin 的演示非常相似。 在此处输入图像描述

这种通过添加集总元件来表示寄生项(即系统的固有特性不是有意的但与系统的行为相关)来改进理论电路模型的想法并不排除在磁场变化的情况下,实际上是电气工程中常见且有用的做法。例如,通过包含表示 C GS和 C GD的元素,可以更准确地模拟 MOSFET 开关的行为。

在这种情况下,电感器代表一种受现实世界电路元件之间的物理关系支配的电气现象。因此,如果电路在物理上重新排列,则必须调整模型中的电感器以反映这种新物理关系的电气特性。这也是电气工程的一个很好理解的方面,例如,PCB 上两个轨道的物理接近度必须被理解为会影响这两个轨道中的信号交互方式。

在某一点上,当电路状态的变化率相对于电路组件(包括电线/PCB 走线!)的物理尺寸变快时,集总元件在最好的情况下变得笨拙,在最坏的情况下变得不准确,在这一点像传输线模型这样的东西开始发挥作用,但集总模型在运行良好的动态系统中仍然非常有用。

所以总的来说,Lewin 关于 KVL 不适用于他所展示的情况的说法基本上是正确的,但这只是因为所使用的电路模型并不代表对理解其真实世界行为至关重要的元素。

附带说明一下,看起来 Lewin 似乎不明白这个电路中发生了什么,但是当你检查他在讲座和其他材料中使用的特定语言时,他显然明白了。这个补充:

假设您将电压表的探针放在电路中电感器(电阻非常小)的端子上。你会测量什么?您将在电压表上测量的是 Ldi/dt 的“电压降”。但这并不是因为电感器中有电场!这是因为将电压表放在电路中会导致通过电压表电路的时间变化的磁通量,由电感器,电压表引线和电压表中的大内部电阻组成

这清楚地表明,Lewin 将电压表及其引线视为电路的一部分,正如他所说,通过变化场的路径会影响积分,因此会影响仪表指示的电压。这正是 Mehdi Sadaghdar 在他的视频中描述的效果,只是从物理角度(法拉第等人)而不是 EE 角度(寄生电感)观察到的。我不确定为什么 Lewin 没有选择承认这种等价性,除了他认为后者是“出于错误原因的正确答案”。

编辑添加:

这段视频中,Lewin 更清楚地表达了他反对以反映 KVL 的方式来表述问题。对于这个电路:

示意图

模拟此电路- 使用CircuitLab创建的原理图

Lewin 表明,从左下角开始顺时针移动,\$\overrightarrow{E}.\overrightarrow{dl}\$的闭环积分如下(注意,没有显示电感器项,因为它是假设是理想的,即超导的):

\$ \oint \overrightarrow{E}.\overrightarrow{dl} = -V_{0} + IR + \frac{Q}{C}\$

因为这两个身份:

\$\oint \overrightarrow{E}.\overrightarrow{dl} = -\frac{d\Phi_{B} }{dt}\$

\$-\frac{d\Phi_{B} }{dt} = -L\frac{dI}{dt}\$

我们可以使用这个等式来描述电路:

\$-V_{0} + 红外 + \frac{Q}{C} = -L\frac{dI}{dt} \$

如果我们想得到类似于 KVL 的东西,我们可以简单地将描述 V L的项移到等式的另一边:

\$-V_{0} + 红外 + \frac{Q}{C} + L\frac{dI}{dt} = 0\$

对于后一种形式,Lewin 说将电感项向左移动“不会使方程式出错,但物理学很臭!” 因为我们现在等式的两边都不完全代表\$ \oint \overrightarrow{E}.\overrightarrow{dl}\$

让我复制我对视频的评论。“Lewin”当然是对的;这是非常基础的物理学。

在视频的第二部分中,您基本上解释了为什么不能定义电压以及为什么 Lewin 是正确的。电压的确切点是无论你如何探测它,它都应该是相同的。电压的定义是电势,也就是说,无论路径如何,两点之间的电压差都应该为您提供将电荷从一点移动到另一点所需的总能量。如果路径很重要,那么一切都会分崩离析;该领域是非保守的。当然,您可以以不同的方式对这些效果进行建模,例如引入变压器,但这些只是具有局限性的模型,您应该始终知道您的模型在哪些限制下可以按预期工作。

更新:我看到你们中的一些人有点困惑/迷失了。让我试着帮忙。这是用文字定义的电压(从维基百科复制):

电压、电势差、电压力或电张力是两点之间的电势差。两点之间的电势差(即电压)定义为每单位电荷对抗静电场在两点之间移动测试电荷所需的功。

因此,您将单位电荷从一点移动到另一点,无论您选择这样做的路径如何,您将电荷从一点移动到另一点所需的总能量输入就是两点之间的电压差.

现在,基尔霍夫定律真正说的是,如果你在一次旅行中充电,但在你把充电带回起点,你在充电上所做的总工作将是 0。从这里你可以很容易看出,如果电场的卷曲不是处处为 0,它就不会成立;因为你可以进入一个循环,其中 E 总是指向相反的行进方向,当你回到起点时,你将在场地上做很多工作,即使你已经回到了原来的起点。

例如,在上面的循环(R1-R2)中,您可以继续循环移动,您所做的工作将单调递增。

如果 rotE 不完全为零,则无法定义势场,无法定义电压(它不存在),因此您甚至无法在任何情况下谈论电压。根据麦克斯韦-法拉第方程,变化磁场的存在确实会导致 E 有一个卷曲。

KVL 在上面的电路中是否成立?

是的。基尔霍夫电压定律由基尔霍夫在他 1845 年的论文“Ueber den Durchgang eines Electricrischen stromes etc.”中提出。状态(我的翻译)

  1. 当电线\$1,2,...n\$形成一个闭合图形时, $$I_1R_1 + I_2R_2 + ... I_nR_n$$ = 途中所有电动势的总和:

当我们将变化磁场\$\vec{B}\$沿任意路径\$C\$感应的 EMF 定义为

$$ \mathscr E_{诱导} = \int_C \vec{E_{rot}} \cdot d\vec{\ell}$$

其中\$\vec{E_{rot}}\$\$\vec{E}\$场的无散(或旋转)分量,它是方程的解

$$\vec{\nabla} \times \vec{E_{rot}} = \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$

那么,KVL 可以毫无问题地应用于上述电路。

[但是,应该注意的是,在确定电压表的读数时,我们还需要将引线中感应的 EMF 包括在内。]

应该注意的是,KVL 经常被教授,而不是 Kirchhoff 表达的方式,而是以下形式的一些变体:

电路中任意两点之间的电位差与路径无关。【伪KVL】

上面的陈述,我称之为 Pseudo-KVL,当它为真时,确实需要 KVL。此外,当不存在由时变磁场感应的电场时,KVL 需要 Pseudo-KVL。但是,KVL 和 Pseudo-KVL 有重要的区别。

KVL 是一个循环定律。我的意思是它描述了通过遍历循环找到的数学关系。Pseudo-KVL 是一种“潜在的”“法则”。我的意思是它本质上假设存在潜在差异。只要存在潜在差异,这一切都很好。如果组件上的电压降与路径相关,就会出现问题。

[如果将“潜在差异”定义为

$$\int_a^b \vec{E}\cdot d \ell$$

当\$\vec{E}\$不是一个保守的领域时,就会遇到问题。根据\$a\$\$b\$之间的路径,积分采用不同的值]

探测是否正确?

在这种情况下不可能有“坏”的探测,因为没有唯一正确、“正确”的探测方式。探针线的不同排列会产生不同的结果,这些结果需要解释测量设备连同它的两条探针线形成一个回路的一部分。被测电路中测试点之间的任何路径都构成了环路的另一部分。包含测量设备的部分环路和包含被测电路部分的部分环路一起构成一个完整的环路。根据 KVL,该环路中所有 EMF 的总和等于该环路中所有 IR 电压降的总和。因此,测量设备上的电压等于所有 EMF 的总和减去所有 IR 电压降的总和,除了测量设备本身。

[注意,由于测量设备(在固定配置中)将以一种给定的方式报告其测量结果,因此我们在测试点之间选择被测电路中的哪条路径来求解 KVL 方程并不重要。]

电路是否有不容忽视的互感器?

必须考虑电线中感应的 EMF。我们如何绘制原理图并不重要。在某些情况下,包括四个电感器可能更方便——一个用于电阻器和测试点之间的每个线段。或者,我们可以省略电感符号,只要在上下文中清楚地知道存在时变磁场,并且在执行电路分析时我们需要考虑线段中感应的 EMF。语境,语境,语境。请记住,必须考虑电线中感应的 EMF 的一种或另一种方式。

KVL 在上面的电路中是否成立?

这取决于您如何构建 KVL。我认为可以肯定地说,应该假设它是为均匀磁场定义的,或者可能是在一个神奇的世界中定义的,其中页面上的线条实际上是完美的导体,没有电阻,也没有磁性或静电耦合到其他线条相同或其他页面。

请注意,我并不是在嘲笑 KVL——但它仅限于对理想电路的理论探索。您应该始终牢记您的实际电路与原理图中的理想表示有何不同。

探测是否正确?

这是一个意见问题。“正确”取决于你想要找出什么,或者你想要证明什么。

电路是否有不容忽视的互感器?

如上图所示——是的。但是一旦你把那个线圈放在那里,你就会在原理图中添加不符合原理图经典假设的元素。实际上,您隐含地打破了原理图的经典假设:只要线路保持连接,您就可以任意移动组件。通过在其中绘制该线圈,您将获得一个非常好的示意图,并将其变成一个可悲的未指定的机械图。

我相信第二张图可以让您准确计算电阻器中的电压和电流,但要准确表示对电压表的影响,您需要在线圈和电阻器回路以及仪表引线之间再增加两个互感。