相量分析使我们能够分析电路在给定单一频率下对正弦稳态响应的响应。我们通过欧拉公式将其转换为复指数，以相量形式表示时域电压 \$V(t) = V_{0}cos(\omega t + \phi)\$...

$$A\cos(\omega t + \phi) = Re\{Ae^{j( \omega t~+~\phi)}\} = Re\{Ae^{j\phi}e^{j\欧米茄 t}\}$$

...然后忽略频率/时间相关性（因为我们假设电路中的所有内容都由相同频率的稳定正弦波激发）。因此，

$$V= Ae^{j\phi}$$

这个 \$V\$ 就是我们所说的相量。我们可以将任何电流或电压表示为相量。为了从相量恢复时域表示，您可以将其乘以 \$e^{j\omega t}\$，然后取实部。请注意，有时为了计算功率的简洁/熟悉，我们还将相量的幅度转换为 RMS 值（对于正弦曲线，幅度除以 \$\sqrt{2}\$）。相量允许我们使用类似的直流分析技术来恢复线性电路的传递函数（通过使用阻抗）。使用叠加，我们可以使用傅里叶分析来分析电路的完整稳态响应，作为其由于不同频率分量引起的稳态响应之和。

注意相量与电路的拉普拉斯表示的关系很有用。电路的拉普拉斯表示使用变量 \$s = \sigma + j\omega\$。请注意，对于 \$\sigma = 0\$，电路的拉普拉斯表示的传递函数减少到相量表示。这是一个很好的迹象，表明 \$s\$ 的实部表示瞬态响应（这可以很容易地通过注意到 \$e^{at}\$ 对于任何实数 \$a\$ 将导致指数增长或衰减的实际价值）。请注意，拉普拉斯表示是电路的更一般表示，包括瞬态和稳态响应。同样，它'

从数学上讲，没有什么会丢失。相量分析始终以余弦函数的形式为您提供电路中每个电压和电流的值：

$$V_a = A_1 \cos (\omega t + \phi_1)$$ $$V_b = A_2 \cos (\omega t + \phi_2)$$ $$I_c = A_3 \cos (\omega t + \phi_3)$ $ $$等$$

您指定 \$\omega\$ 以及至少一个电压或电流的幅度和相位，相量分析为您提供所有其余的 \$A\$ 和 \$\phi\$。

问题不在于瞬态行为会丢失，而在于您从未将其放入！根据定义，相量分析适用于应用于线性时不变系统的单一频率不变的永恒正弦曲线——所谓的正弦稳态。“稳态”与“瞬态”相反。您可以扩展它以涵盖指数增长和衰减，但同样，这是永恒的增长和衰减。数学之所以有效，是因为您的电压和电流是复指数，不会被线性微分方程扭曲。

要描述在 t = 0 时触发开关的情况，您需要使用阶跃函数。阶跃函数不能用单个频率表示，因此相量分析会失效。要处理这个问题，您需要使用傅里叶分析。

我知道这是一个迟到的答案，但我想就为什么相量只给出稳态响应给出不同的见解。

考虑众所周知的 RC 电路，驱动源为 \$v_s=\text{V}\cos(\omega t + \phi)\$，则有微分方程：

$$ \text{RC}\dfrac{dv_c}{dt} + v_c=\cos(\omega t + \phi)$$

从数学的角度来看，您可以通过找到齐次解和特定解来求解此微分方程，然后将它们相加即可得到通解。到目前为止，一切都很好。

相量只给你一个特定的解决方案（它不会给你一个均匀的解决方案，即瞬态解决方案），而这个特定的解决方案就是我们所说的稳态响应。

换句话说，均匀解（瞬态或自然响应）是

$$ \dfrac{dv_c}{dt} + \dfrac{1}{\text{RC}}v_c=0$$

您可以通过积分因子方法找到。

以及特定的解决方案，使用您可以将输入源编写为 \$\Re\{\text{V}e^{j\omega t}e^{j\phi}\}\$ 的事实，其中 \$ \Re\$ 表示实数部分。对于特定的解决方案，我们根据强制函数进行“猜测”：

$$\dfrac{dv_c}{dt} + \dfrac{1}{\text{RC}}v_c= \dfrac{\text{V}}{\text{RC}}e^{j\phi}e^ {j\omega t}$$

如果您猜测您的特定解的形式为 \$v_{c,p}=\text{A}e^{j\omega t}\$，其中 \$A\$ 也将是一个相量（它将有最后是一个幅度和一个相位），就像 \$\text{V}e^{j\phi}\$ 一样，根据相量的定义。$$j\omega \text{A}e^{j\omega t}+ \dfrac{1}{\text{RC}}\text{A}e^{j\omega t}= \dfrac{\text {V}}{\text{RC}}e^{j\phi}e^{j\omega t}$$ 可以通过除以 \$e^{j\omega t}\$ 并分解\$\text{A}\$ 条款

$$\text{A}\bigg(j\omega+\dfrac{1}{\text{RC}}\bigg)= \dfrac{\text{V}}{\text{RC}}e^{j\ φ}$$

$$ \text{A}=\dfrac{\text{V}e^{j\phi}}{j\omega\text{RC}+1}$$

最后，\$\text{A}\$ 将是以下形式的相量：

$$\text{A}=|\text{A}|\angle{\theta} $$

所以当你找到 \$v_{c,p}\$ 时，你只有特定的解决方案（强制响应，稳态）。您仍然需要找到上述齐次方程的解才能获得完整的响应。

简而言之，相量为您提供了微分方程的特定解。

就像 Adam 和 Auston 已经指出的那样，瞬态信息永远不会包含在相量分析中，至少在 2D 中不会。将其放入需要额外的维度，例如调幅正弦波的 3D 相量包络。

瞬态，如阻尼振荡的衰减，看起来像一个以指数方式衰减的锥形旋转矢量。复数也不再适用。