基本控制研究中涵盖的大部分内容是线性时不变系统。如果幸运的话，最后可能还会得到离散采样和 z 变换。当然，开关模式电源 (SMPS) 是在时间上不连续地通过拓扑状态演化的系统，并且大多具有非线性响应。因此，标准或基本线性控制理论不能很好地分析 SMPS。
不知何故，为了继续使用所有熟悉且易于理解的控制理论工具；像波特图、尼科尔斯图等，必须对时间不变性和非线性做一些事情。看看 SMPS 状态如何随时间演变。以下是 Boost SMPS 的拓扑状态：
这些单独的拓扑中的每一个都易于作为时不变系统单独分析。但是，单独进行的每个分析都没有多大用处。该怎么办？
当拓扑状态从一个突然切换到下一个时，有一些量或变量在切换边界上是连续的。这些通常称为状态变量。最常见的例子是电感电流和电容电压。为什么不根据每个拓扑状态的状态变量编写方程，并通过组合为加权和来取某种状态方程的平均值以获得时不变模型？这并不完全是一个新想法。
状态空间平均——从外到内的状态平均
70 年代，加州理工学院的 Middlebrook 1发表了关于 SMPS 的状态空间平均的开创性论文。该论文详细介绍了组合和平均拓扑状态以模拟低频响应。Middlebrook 的模型对一段时间内的状态进行平均，对于固定频率 PWM 控制，归结为占空比 (DC) 加权。让我们从基础开始，以在连续导通模式 (CCM) 下工作的升压电路为例。有源开关的开启状态占空比将输出电压与输入电压关联为：
\$V_o\$ = \$\frac{V_{\text{in}}}{1-\text{DC}}\$
两种状态中的每一种及其平均组合的方程为：
\$\begin {array} {cccc} &\text {Active State} &\text {Passive State} &\text {Ave State} \\ \text {State Var $\backslash $ Weight} &\text {DC} &\text {(1 - DC)} & \\ \frac {\text {di} _L} {\text {dt}} &\frac {V_ {\text {in}}} {L} &\frac { -V_C + V_ {\text {in}}} {L} &\frac {(-1 + \text {DC}) V_C + V_ {\text {in}}} {L} \\ \frac {\text {dV} _C} {\text {dt}} & - \frac {V_C} {CR} &\frac {i_L} {C} - \frac {V_C} {CR} &\frac {(R - \text { DC} R) i_L - V_C} {CR} \end {array}\$
好的，这需要对状态进行平均，从而产生一个时间不变的模型。现在，对于一个有用的线性化 (ac) 模型，需要将扰动项添加到控制参数 DC 和每个状态变量中。这将导致稳态项与旋转项相加。
\$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}\$
\$i_L\rightarrow I_{\text{Lo}} + i_L\$
\$V_c\rightarrow V_{ \text{co}} + v_c\$
\$V_{\text{in}}\rightarrow V_{\text{ino}} + v_{\text{in}}\$
将这些代入平均方程。由于这是一个线性交流模型，您只需要一阶变量乘积，因此丢弃两个稳态项或两个旋转项的任何乘积。
\$\frac{d v_c}{\text{dt}}\$ = \$\frac{\left(1-\text{DC}_o\right) i_L-I_{\text{Lo}} d_{\文本{ac}}}{C} -\frac{v_c}{CR}\$
\$\frac{d i_L}{\text{dt}}\$ = \$\frac{d_{\text{ac} } V_{\text{co}}+v_c \left(\text{DC}_o-1\right)+v_{\text{in}}}{L}\$
这只是关于工作点的常见线性变化。此外，由于我们正在寻找 AC 解决方案，\$\frac{d}{\text{dt}}\$ 总是可以替换为 s（或 \$\text{j$\omega $}\$）。求解得到与 \$d_{\text{ac}}\$ 相关的输出电压 \$v_c\$ 产生：
\$\frac{v_c}{d_{\text{ac}}}\$ = \$\frac{-V_{\text{co}} \text{DC}_o+V_{\text{co}}- L I_{\text{Lo}} s}{CL s^2+\text{DC}_o^2-2 \text{DC}_o+\frac{L s}{R}+1}\$
从这个传递函数可以看到右半平面零的位置 \$f_{\text{rhpz}}\$ 和复极对位置 \$f_{\text{cp}}\$ 。
\$f_ {\text {rhpz}}\$ = \$\frac{V_{\text{co}} \left(1-\text{DC}_o\right){}^2}{2 \pi L i_o}\$
\$f_{\text{cp}}\$ = \$\frac{1-\text{DC}_o}{2 \pi \sqrt{LC}}\$
对于L1=500uH，C2=500uF，Vin=400V，Vo=500V，R1=25欧姆的电路值；\$f_ {\text {rhpz}}\$ 为 5093 Hz，\$f_{\text{cp}}\$ 为 255 Hz。
增益和相位图显示复极点和右半平面零。由于没有包括 L1 和 C2 的 ESR，所以极点的 Q 值如此之高。现在要添加额外的模型元素需要返回并将它们添加到起始微分方程中。
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PWM 平均开关模型——由内而外的状态平均
在 80 年代后期，Vorperian（Middlebrook 的前学生）对州平均有着深刻的见解。他意识到，在一个周期内真正发生变化的是开关条件。事实证明，对开关进行平均比对电路状态进行平均时，对转换器动态建模更加灵活和简单。
在 Vorperian 2之后，我们为 CCM 升压建立了一个平均 PWM 开关模型。从规范开关对（有源和无源开关一起）的角度出发，其输入-输出节点分别用于有源开关 (a)、无源开关 (p) 和两者的共同点 (c)。如果您回头参考状态空间模型中升压调节器的 3 个状态图，您会看到在开关周围画了一个框，表示 PWM 平均模型的连接。
您将需要与输入和输出电压 \$V_{\text{ap}}\$ 和 \$V_{\text{cp}}\$ 以及输入和输出电流 \$i_a\$ 和 \$ 相关的方程式i_c\$ 以一种平均的方式。通过检查和了解这些简单的电压和电流的样子，可以得到：
\$V_{\text{ap}}\$ = \$\frac{V_{\text{cp}}}{\text{DC}}\$
和
\$i_a\$ = 直流 \$i_c\$
然后添加扰动
\$\text{DC}\rightarrow \text{DC}_o + d_{\text{ac}}\$
\$i_a\rightarrow I_a + i_a\$
\$i_c\rightarrow I_c + i_c\$
\$V_{ \text{ap}}\rightarrow V_{\text{ap}} + v_{\text{ap}}\$
\$V_{\text{cp}}\rightarrow V_{\text{cp}} + v_{ \文本{cp}}\$
所以，
\$v_{\text{ap}}\$ = \$\frac{v_{\text{cp}}}{\text{DC}_o}\$ - \$\frac{d_{\text{ac} } V_{\text{ap}}}{\text{DC}_o}\$
和，
\$ i_a\$ = \$i_c \text{DC}_o + i_c d_{\text{ac}}\$
这些等式可以转化为适用于 SPICE 的等效电路。稳态直流与小信号交流电压或电流相结合的术语在功能上等同于理想变压器。其他项可以建模为按比例缩放的依赖源。这是一个带有平均 PWM 开关的升压调节器的 AC 模型：
PWM 开关模型的波特图看起来与状态空间模型非常相似，但并不完全相同。差异是由于增加了 L1 (0.01Ohms) 和 C2 (0.13Ohms) 的 ESR。这意味着 L1 的损耗约为 10W，输出纹波约为 5Vpp。因此，复极对的 Q 较低，rhpz 很难看到，因为它的相位响应被 C2 的 ESR 零覆盖。
PWM 开关模型是非常强大的直观概念：
由 Vorperian 派生的 PWM 开关是规范的。这意味着此处显示的模型可以与升压、降压或升压-降压拓扑一起使用，只要它们是 CCM。您只需更改连接以匹配 p 与被动开关、a 与主动开关以及 c 与两者之间的连接匹配。如果你想要 DCM，你将需要一个不同的模型……而且它比 CCM 模型更复杂……你不能拥有一切。
如果您需要在电路中添加诸如 ESR 之类的东西，则无需返回输入方程并重新开始。
它很容易与 SPICE 一起使用。
PWM开关模型被广泛覆盖。Everett Rogers (SLVA061) 在“了解开关模式电源中的升压功率级”中有一篇可访问的文章。
限制？这里的模型不包含任何谐振或开关频率效应（如奈奎斯特采样），因此至少比具有环路带宽的 \$f_s\$ 低十倍。一个基本假设是，像 L1/R1 和 R1C2 这样的时间常数比切换周期 \$T_s\$ 大得多（如果其中任何一个都小于大约 10 倍 \$T_s\$，那么是时候开始担心准确性了）。
现在你进入了 1990 年代。手机重量不到一磅，每张桌子上都有一台 PC，SPICE 无处不在，以至于它是一个动词，而计算机病毒是一个东西。未来从这里开始。
1 GW Wester 和 RD Middlebrook，“开关直流 - 直流转换器的低频特性”，IEEE Transactions an Aerospace and Electronic Systems，Vol。AES - 9，第 376 - 385 页，1973 年 5 月。
2 V. Vorperian，“使用 PWM 开关模型对 PWM 转换器的简化分析：第一部分和第二部分”，IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，Vol。AES - 26，第 490 - 505 页，1990 年 5 月。
