它是错误的，部分原因是它基于一个数学谬误。 （更错误的是，这是一种公然压制选民的宣传，但这不适合在这里讨论。）

隐含的上下文是一种选举看起来像是在围栏上的情况。一个合理的模型是会有$n$ 个选民（不包括你），其中大约$m_1\lt n/2$肯定会投票给一个候选人，大约$m_2\大约 m_1$会投票给另一个候选人，剩下$ n-(m_1+m_2)$ “未定”的人会当场随机下定决心，就像在抛硬币一样。

大多数人——包括那些有很强数学背景的人——会猜测在这个模型中完美平局的可能性很小。（我通过实际询问数学专业的本科生来测试过这个断言。）正确的答案令人惊讶。

首先，估计$n$有大约$1/2$的机会是奇数，这意味着平局是不可能的。考虑到这一点，我们最终将投入1/2 美元的系数。

让我们考虑$n=2k$是偶数的剩余情况。该模型中平局的机会由二项分布给出

$$\Pr(\text{Tie}) = \binom{n - m_1 - m_2}{k - m_1} 2^{m_1+m_2-n}.$$

当$m_1\approx m_2,$让$m = (m_1+m_2)/2$（必要时取整）。机会并不太依赖于$m_i$和$m,$之间的小偏差，因此编写$N=km,$二项式系数的一个很好的近似值是

$$\binom{n - m_1-m_2}{k - m_1} \approx \binom{2(km)}{km} = \binom{2N}{N} \approx \frac{2^{2N}}{ \sqrt{N\pi}}.$$

由于斯特林公式，最后一个近似值即使在$N$很小（大于$10$也可以）时也能很好地工作。

将这些结果放在一起，并记住在一开始就乘以1/2 美元，可以很好地估计平局的机会，因为

$$\Pr(\text{Tie}) \约 \frac{1}{2\sqrt{N\pi}}.$$

在这种情况下，您的投票将给选举带来小费。有哪些机会？在最极端的情况下，想象一个直接的民众投票，比如说，10 ^ 8 美元的人（接近在美国总统选举中投票的人数）。通常大约 90% 的人的头脑都清楚地决定了，所以我们可能会将$N$放在$10^7 的数量级上。$ 现在

$$\frac{1}{2\sqrt{10^7\pi}} \大约 10^{-4}.$$

也就是说，你参与一场涉及一亿人的势均力敌的选举，仍然有大约0.01 美元\%$的机会改变结果！

在实践中，大多数选举涉及几十到几百万的选民。在这个范围内，你影响结果的机会（当然是在上述假设下）的范围从大约$10\%$（只有十个未决定的选民）到$1\%$（有一千个未决定的选民）到$0.1\%$（有十万未决定的选民）。

总而言之，你的选票在竞争激烈的选举中摇摆不定的机会往往与未决定选民人数的平方根成反比。 因此，即使选民人数众多，投票也很重要。

美国州和全国选举的历史支持这一分析。 请记住，仅举一个最近的例子，2000 年美国总统选举是如何由佛罗里达州的多数人（有几百万选民）决定的，而这种多数人不可能超过几百人——如果仔细检查的话，可能，会更窄。

如果（根据最近的选举结果）似乎有百分之几的机会，涉及数百万人的选举将由至多几百票决定，那么下一次此类选举的机会仅由一票（直观地）必须至少是百分之一的百分之一。这大约是逆平方根定律预测的十分之一。但这意味着投票的历史和这种分析非常吻合，因为这种分析只适用于接近的比赛——而且大多数情况并不接近。

有关世界范围内这种类型的更多（轶事）示例，请参阅关于接近选举结果的 Wikipedia 文章。它包括一个包含大约 200 个示例的表格。不幸的是，它报告的胜利幅度占总数的比例。 正如我们所看到的，无论该分析的所有（甚至大多数）假设是否成立，衡量选举接近程度的更有意义的衡量标准是差额除以总数的平方根。

顺便说一句，您因开车前往投票箱（如果您需要开车）而受伤的几率可以估算为每年的受伤率（约 1%）除以平均出行次数（或距离-加权旅行）每年，这是几百。我们得到一个远低于$0.01\%.$的数字

你中彩票大奖的机会？取决于彩票，百万分之一或更少。

问题中的引用不仅粗俗，而且完全是错误的。

我必须让你失望：当前的经济理论无法解释为什么人们不断出现在选举中，因为这似乎是不合理的。请参阅Geys, Benny (2006) - “'Rational' Theories of Voter Turnout: A Review”第 16-35 页上有关此主题的文献调查 。选民投票率是在总投票资格池的投票中出现的选民百分比。用外行的话来说，您的投票似乎确实不会产生影响。

正如@whuber 的回答一样，分析与进行关键投票的概率密切相关，即打成平局或打破平局。然而，我认为@whuber 让问题看起来比实际更简单，并且表明关键投票的可能性比美国和欧洲选举数据分析所表明的要高得多。投票率确实是一个悖论。根据理论它必须为零，但在美国它接近 50% 的范围。

在我看来，答案不能从纯统计的角度得出。它属于理性选择模型探索的人类行为的行为方面，尽管方式并不令人满意，因为人们继续投票，而理论认为他们不应该投票。

工具投票

我之前提到的工具性投票方法（请参阅前面的参考资料）是您的投票成为打破平局的想法，从而决定您是否从选举您最喜欢的候选人中获得好处。它用期望效用 R 的方程来描述： $$R=PB-C>0$$ 这里，P 是您的投票打破平局的概率，B 是您从候选人那里获得的收益，C 是与投票相关的概率。成本 C 各不相同，大致分为两类：对候选人的研究和处理选民登记、开车到投票站等的事情。人们看了这些组成部分并得出结论，P 是如此之低，以至于任何正成本 C 都超过了产品铅。

概率 P 已被许多研究人员考虑过，例如，请参阅 Gelman 的权威处理： Gelman, A.、King, G. 和 Boscardin, JW (1998) '估计从未发生的事件的概率：何时是你的投票决定性的？

您可以在NBER 论文中找到与@whuber 的答案中的设置类似的计算：关键投票的经验频率，Casey B. Mulligan，Charles G. Hunter。请注意，这是对投票公告的实证研究。然而，他们在理论部分有独立的二项式选民设置，见 Eq.3。他们的估计与@whuber 截然不同，后者提出了$\sim 1/\sqrt{n}$而本文推导出$P=O(\frac 1 n)$，这使得概率非常低。概率的处理非常有趣，并且考虑了许多不明显的考虑因素，例如选民是否意识到平局概率是多少

下面是一个简单直观的解释，来自 Edlin、Aaron、Andrew Gelman 和 Noah Kaplan。“投票作为一种理性的选择：人们为什么以及如何投票以改善他人的福祉。” 理性与社会 19.3 (2007): 293-314.

令 f(d) 为选票差异 d（两位领先候选人获得的选票比例的差异）的预测或预测不确定性分布。如果 n 不是很小，实际上 f(d) 可以写成连续分布（例如，均值为 0.04 和标准差为 0.03 的正态分布）。决定性投票的概率是单次投票可以决定或打破平局的概率的一半，即 f(0)/n。

这里的假设是，确切的平局投票将由掷硬币决定。

实验结果

经验结果表明，对于 20,000 名选民，平局的概率为$\frac 1 {6000}$，这明显低于@whuber 的模型结果$\frac 1 {2\sqrt{20000\pi}}=\frac 1 {500}$

另一项实证研究是 Gelman, Andrew, Katz, Jonathan 和 Bafumi, Joseph, (2004)，标准投票权指数不起作用：实证分析，英国政治学杂志，34，第 4 期，p。657-674。@user76284 的回答首先引用了它的主要结论。

作者表明$O(1/\sqrt{n}$不符合现实。他们分析了大量的选举数据，在美国和国外的许多不同层面举行了选举。

例如，这是 1960-2000 年美国总统选举中的州投票数据。它们显示了平方根 n 拟合与 lowes（非参数）拟合。很明显，平方根不适合数据。

这是另一个图，其中还包括欧洲选举数据。同样，n 关系的平方根不适合数据。

论文中的第 2.2.2 节解释了平方根结果的基本假设，这有助于理解@whuber 的方法。5.1 节有理论讨论。

我将采取与其他答案不同的策略，并对问题的双方进行辩论。

首先，让我们证明投票是一种毫无意义的浪费时间。

选举的功能是从各个选民的个人意愿的许多样本中得出一个单一的结果，称为“选民的意愿”。据推测，选举人的数量很大；我们在这里不关心数十或数百名选民的情况。

在决定是否应该投票时，有两种可能性。正如您所指出的，要么，选民对一个结果有强烈的偏好——比如 51% 或更高。在这种情况下，您投“决定性”一票的可能性微乎其微，因此无论您站在问题的哪一边，您最好呆在家里而不承担所有投票费用。

现在假设另一种可能性：选民的分歧如此之小，以至于即使是少数选民选择投票或不投票也可能完全改变结果。但在这种情况下，根本就没有“选民的意志”！ 在这种情况下，您不妨取消选举并掷硬币，完全节省选举费用。

从理性的角度来看，似乎没有理由投票。假设大部分选民以这种方式提出理由——而且，他们为什么不应该这样做呢？我住在华盛顿州第 43 区，是美国最“蓝”的区之一。无论我在区选举中支持哪位候选人，我现在都可以告诉你，获胜者的党派是什么，我所在的区会是什么党派，那我为什么要投票呢？

投票的原因是考虑到“大部分选民认为它毫无意义并且不投票”对一小群理论家的战略后果。这种态度将权力交给了相对较小、组织良好的集团，这些集团可能会在意想不到的时候集体出现。如果大部分“理性地”决定留在家中不投票的选民人数大大减少，那么违背多数人的明确意愿进行选举所需的集团规模就会大大减少。

在“没有合理必要”的情况下进行投票会降低由相对较小的群体推动选举成功的可能性，从而增加确定多数人实际意愿的可能性。

whuber 的回答中提出的分析反映了彭罗斯平方根定律，该定律指出，在某些假设下，给定投票具有决定性意义的概率与$1/\sqrt{N}$一样。然而，该分析所依据的假设过于强大，以至于在大多数现实世界的场景中都不现实。特别是，它假设每个结果的决定选民的比例实际上是相同的，我们将在下面看到。

下图显示了一个结果与决定选民比例的平局概率，给定另一种结果的决定选民比例（假设其余的投票一致随机）和选民总数：

用于创建图形的 Mathematica 代码是

fractionYes = 0.45;
total = 1000000;
Plot[
 With[
  {
   y = Round[fractionYes*total],
   n = Round[fractionNo*total],
   u = Round[(1 - fractionYes - fractionNo)*total]
   },
  NProbability[y + yu == n + u - yu, 
   yu \[Distributed] BinomialDistribution[u, 1/2]]
  ],
 {fractionNo, 0, 1 - fractionYes},
 AxesLabel -> {"fraction decided no", "probability of tie"},
 PlotLabel -> 
  StringForm["total = ``, fraction decided yes = ``", total, 
   fractionYes],
 PlotRange -> All,
 ImageSize -> Large
 ]

如图所示，whuber 的分析（如彭罗斯平方根定律）是一种刀锋现象：在人口规模不断增长的限制下，它要求每个结果的决定选民的比例完全相等。即使与该假设的微小偏差也会使平局的概率非常接近于零。

这可能解释了它与Aksakal 回答中提出的实证结果的差异。例如，标准投票权指数不起作用： Gelman、Katz 和 Bafumi 的实证分析（剑桥大学出版社，2004 年）说：

Banzhaf 等投票权指数是从所有投票的可能性相同（即随机投票）的假设中明确或隐含地推导出来的。该假设意味着在有$n$选民的司法管辖区中，投票具有决定性的概率与$1/\sqrt{n}$成正比。在本文中，作者展示了如何使用来自各种美国和欧洲选举的数据对这一假设进行实证检验和拒绝。他们发现决定性投票的概率大约与$1/n$成正比. 随机投票模型（以及更普遍的平方根规则）高估了较大辖区中近距离选举的可能性。结果，经典的投票权指数使大型司法管辖区的选民看起来比实际更强大。他们的结果最重要的政治含义是，按比例加权的投票系统（即每个司法管辖区获得的票数与$n$成正比）基本上是公平的。这与投票权文献中关于权重应与$\sqrt{n}$大致成比例的主张相矛盾。

另请参阅为什么 Gelman 的投票分配平方根规则是一个坏主意。