你的教科书很混乱。 很少有人或软件以这种方式定义四分位数。（它往往会使第一个四分位数太小，而第三个四分位数太大。）

中的quantile函数R实现了九种不同的计算分位数的方法！要查看其中哪些（如果有）对应于该方法，让我们从实现它开始。根据描述，我们可以编写一个算法，首先是数学，然后是R：

1. 订购数据$x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$.

2. 对于任何一组数据，当有奇数个值时，中位数是它的中间值；否则，当有偶数个值时，它是两个中间值的平均值。 R的median函数计算这个。

   中间值的索引是$m = (n+1)/2$. 当它不是整数时，$(x_l + x_u)/2$是中位数，其中$l$和$u$是$m$向下和向上舍入。否则当$m$是一个整数，$x_m$是中位数。在这种情况下采取$l=m-1$和$u=m+1$. 在任一情况下$l$是紧靠中位数左侧的数据值的索引，并且$u$是紧靠中位数右侧的数据值的索引。

3. “第一个四分位数”是所有的中位数$x_i$为此$i \le l$. “第三四分位数”是$(x_i)$为此$i \ge u$.

这是一个实现。它可以帮助你在这本教科书中做练习。

quart <- function(x) {
  x <- sort(x)
  n <- length(x)
  m <- (n+1)/2
  if (floor(m) != m) {
    l <- m-1/2; u <- m+1/2
  } else {
    l <- m-1; u <- m+1
  }
  c(Q1=median(x[1:l]), Q3=median(x[u:n]))
}

例如，输出quart(c(6,7,8,9,10,15,16,16,20,20,23,33,50,58,104))与文本一致：

Q1 Q3 
 9 33 

让我们使用所有十种方法计算一些小数据集的四分位数：九R和教科书的：

y <- matrix(NA, 2, 10)
rownames(y) <- c("Q1", "Q3")
colnames(y) <- c(1:9, "Quart")
for (n in 3:5) {
  j <- 1
  for (i in 1:9) {
    y[, i] <- quantile(1:n, probs=c(1/4, 3/4), type=i)
  }
  y[, 10] <- quart(1:n)
  cat("\n", n, ":\n")
  print(y, digits=2)
}

当您运行它并检查时，您会发现教科书值与所有三种样本大小的任何输出都不一致。R （分歧模式在第三周期的循环中继续存在，表明无论样本有多大，问题仍然存在。）

教科书可能误解了 John Tukey 计算“铰链”（又名“四分之二”）的方法。不同之处在于，当围绕中位数分割数据集时，他将中位数包含在两半中。 那会产生$9.5$和$28$对于示例数据集。

在统计学领域（我教的，但我不是研究人员），四分位数计算特别模棱两可（在某种程度上，分位数不一定是正确的，更一般地说）。这背后有很多历史，部分原因是四分位间距 (IQR) 的使用（也可能是滥用），它对异常值不敏感，作为标准偏差的检查或替代方法。它仍然是一场公开竞赛，计算 Q1 和 Q3 的三种独特方法是共同规范的。

通常情况下，维基百科的文章有一个合理的总结： https ://en.m.wikipedia.org/wiki/Quartile Larson 和 Farber 文本，像大多数基本统计文本一样，使用维基百科文章中描述的内容为“方法一。” 如果我按照上面的描述，r 使用“方法 3”。您必须自己决定哪个在您自己的领域中是典型的合适的。