我推荐Koenker & Hallock (2001, Journal of Economic Perspectives)和 Koenker 的教科书Quantile Regression。

1. 起点是观察到数据集的中位数使绝对误差之和最小化。也就是说，50% 分位数是特定优化问题的解决方案（以找到使绝对误差之和最小化的值）。
2. 由此，很容易发现任何 -分位数都是特定最小化问题的解决方案，即最小化不对称加权绝对误差的总和，权重取决于。$\tau$$\tau$
3. 最后，为了进行回归，我们将这个最小化问题的解决方案建模为预测变量的线性组合，所以现在的问题不是找到单个值，而是找到一组回归参数。

所以你的直觉是非常正确的：所有的样本都有助于估计，不对称的权重取决于我们目标的分位数。$\beta$$\tau$

分位数回归的基本思想来自分析师对数据分布感兴趣的事实，而不仅仅是数据的平均值。让我们从平均值开始。

形式的线拟合到数据的均值。换句话说，。估计这条线的一般方法是使用最小二乘法。$y=X\beta$$E(Y|X=x)=x\beta$$\arg\min_\beta (y-x\beta)'(y-X\beta)$

另一方面，中值回归寻找一条预期一半数据在边上的线。在这种情况下，目标函数是在哪里是第一规范。$\arg\min_\beta |y-X\beta|$$|.|$

将中位数的概念扩展到分位数会导致分位数回归。背后的想法是找到一条线，使 -percent 的数据超出此范围。$\alpha$

在这里你犯了一个小错误，Q 回归不像找到一个分位数的数据然后将一条线拟合到该子集（甚至是更具挑战性的边界）。

Q-regression 寻找一条线，将数据分成一个 qroup 一个分位数和其余部分。目标函数，表示 Q 回归的校验函数是 $\alpha$

$$\hat\beta_\alpha=\arg\min_\beta \bigg\{\alpha |y-X\beta| I(y>X\beta) + (1-\alpha) |y-X\beta|I(y<X\beta)\bigg\}.$$

如您所见，这个聪明的目标函数只不过是将分位数转换为优化问题。

此外，如您所见，Q-regression 是为某个量 ( ) 定义的，然后可以扩展以找到所有分位数。换句话说，Q 回归可以再现（条件）响应分布。$\beta_\alpha$