如果您对平均值感兴趣，请使用 OLS，如果您对中位数感兴趣，请使用分位数。

一个很大的区别是平均值受异常值和其他极端数据的影响更大。有时，这就是你想要的。一个例子是，如果您的因变量是社区的社会资本。一个拥有大量社会资本的人的存在可能对整个社区非常重要。

问题的前提似乎有一个混乱。在第二段中它说，“我们可以只使用中值回归作为 OLS 替代品”。请注意，回归 X 上的条件中位数是（一种）分位数回归。

如果基础数据生成过程中的误差呈正态分布（可以通过检查残差是否正常来评估），则条件均值等于条件中位数。此外，您可能感兴趣的任何分位数（例如，第 95 个百分位数或第 37 个百分位数）都可以使用标准 OLS 方法为 X 维中的给定点确定。分位数回归的主要吸引力在于它比 OLS 更稳健。不利的一面是，如果满足所有假设，效率会降低（也就是说，您将需要更大的样本量才能获得相同的功效/您的估计会不太精确）。

OLS 和分位数回归 (QR) 都是用于估计线性回归模型 的估计技术 （关于 QR 的情况，请参阅 Koenker (1978), p. 33, 第二段） .$\beta$

对于某些错误分布（例如那些带有重尾的），QR 估计器比 OLS 估计器更有效；回想一下仅在线性无偏估计器类中是有效的。这是 Koenker (1978) 建议在各种设置下使用 QR 代替 OLS 的主要动机。我认为对于条件分布的任何时刻， 我们都应该使用更有效的和之一（如果我错了，请纠正我） .$\hat\beta_{QR}$$\hat\beta_{OLS}$$\hat\beta_{OLS}$$P_Y(y|X)$$\hat\beta_{OLS}$$\hat\beta_{QR}$

现在直接回答你的问题，当更有效时，QR 比 OLS“更糟糕”（因此应该优于。一个这样的例子是当误差分布为正态时。$\hat\beta_{OLS}$$\hat\beta_{QR}$$\hat\beta_{OLS}$$\hat\beta_{QR}$

参考：

• Koenker、Roger 和 Gilbert Bassett Jr. “回归分位数”。计量经济学：计量经济学会杂志（1978 年）：33-50。

要说上面的一些优秀回答，但方式略有不同，分位数回归做出的假设更少。在模型的右侧，假设与 OLS 相同，但在左侧，唯一的假设是分布的连续性$Y$（很少联系）。可以说，如果残差分布是对称的（因此中位数=均值），并且在对称和不太重的尾部（特别是在正态下），OLS 提供了中位数的估计值，OLS 优于分位数回归估计中位数，因为精度要好得多。如果模型中只有一个截距，则分位数回归估计正好是样本中位数，其效率为$\frac{2}{\pi}$与平均值相比，在正常情况下。给定均方根误差（残差 SD）的良好估计，您可以使用 OLS 参数化估计任何分位数。但是来自 OLS 的分位数估计是假设负载的，这就是我们经常使用分位数回归的原因。

如果要估计均值，则无法从分位数回归中得到。

如果您想用最少的假设（但比分位数回归更多的假设）估计平均值和分位数但效率更高，请使用半参数序数回归。这也为您提供了超出概率。我的RMS 课程笔记中有一个详细的案例研究，其中显示在一个数据集上，多个参数（分位数和平均值）的平均平均绝对估计误差是通过序数回归实现的。但是对于仅估计平均值，OLS 是最好的，而对于仅估计分位数，分位数回归是最好的。

序数回归的另一大优点是，除了估计均值外，它完全$Y$-变换不变。