如果我们在相当一般的意义上考虑“近似”，我们可以得到某个地方。

我们不必假设我们有一个实际的正态分布，而是一个近似正态的分布，除了密度在 0 附近不能为非零。

所以让我们这么说$a$是“近似正常的”（并且集中在平均值附近*），从某种意义上说，我们可以挥手打消对$a$接近 0（及其对时刻的后续影响$\log(a)$， 因为$a$不会“接近 0”​​），但具有与指定正态分布相同的低阶矩，那么我们可以使用泰勒级数来近似变换后的随机变量的矩。

对于一些转变$g(X)$，这涉及扩展$g(\mu_X + X-\mu_X)$作为泰勒级数（想想$g(x+h)$在哪里$\mu_X$正在扮演'$x$' 和$X-\mu_X$扮演'$h$') 然后取期望值，然后计算方差或展开平方的期望值（从中可以获得方差）。

得到的近似期望和方差是：

$\text{E}\left[g(X)\right]\approx g(\mu_X) +\frac{g''(\mu_X)}{2}\sigma_X^2$和

$\text{Var}\left[g(X)\right]\approx \left(g'(\mu_X)\right)^2\sigma^2_X$

所以（如果我没有犯任何错误），当$g() = \log()$：

$$\text{E}\left[\log(a)\right]\approx log(\mu_a) -\frac{\sigma_a^2}{2\mu_a^2}$$

$$\text{Var}\left[\log(a)\right]\approx \sigma^2_a/\mu_a^2$$

* 为了这是一个很好的近似值，您通常需要标准偏差$a$与平均值相比非常小（低变异系数）。