机器算法验证 - 非中心卡方随机变量之和 - 吾爱随笔录

机器算法验证分布随机变量卡方分布非中心鞍点近似

2022-02-11 17:29:36

我需要找到随机变量的分布

Y = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i})^{2}

$Y=\sum_{i=1}^{n}(X_i)^2$ 在哪里

X_{i} \sim N (μ_{i}, σ_{i}^{2})

$X_i\sim{\cal{N}}(\mu_i,\sigma^2_i)$ 和所有

X_{i}

$X_i$ s 是独立的。我知道有可能首先找到所有矩生成函数的乘积

X_{i}

$X_i$ s，然后变换回去得到

Y

$Y$ 的分布。但是，我想知道是否有一个通用的形式

Y

$Y$ 就像高斯情况一样：我们知道独立高斯的和仍然是高斯，因此我们只需要知道求和的均值和求和的方差。

全部怎么样 $\sigma^2_i=\sigma^2$ ? 这种情况会成为一个通用的解决方案吗？

1个回答

正如 Glen_b 在评论中指出的那样，如果方差都相同，您最终会得到一个缩放的非中心卡方。

如果不是，则有广义卡方分布的概念，即 $x^T A x$ 为了 $x \sim N(\mu, \Sigma)$ 和 $A$ 固定的。在这种情况下，您有对角线的特殊情况 $\Sigma$ ( $\Sigma_{ii} = \sigma_i^2$ ），和 $A = I$ .

已经有一些使用这种分布计算事物的工作：

您也可以将其写为独立非中心卡方变量的线性组合 $Y = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2 \left( \frac{X_i^2}{\sigma_i^2} \right)$ ，在这种情况下：

Bausch (2013)为中心卡方的线性组合提供了一种计算效率更高的算法；他的工作可能可以扩展到非中心卡方，您可能会在相关工作部分找到一些有趣的指针。

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