使用逆伽马分布，我们得到：

$$p(\sigma^2|\alpha,\beta) \propto (\sigma^2)^{-\alpha-1} \exp(-\frac{\beta}{\sigma^2})$$

你可以很容易地看到，如果$\beta \rightarrow 0$和$\alpha \rightarrow 0$那么逆伽玛将先于杰弗里斯。这种分布被称为“无信息”，因为它是 Jeffreys 先验的适当近似

$$p(\sigma^2) \propto \frac{1}{\sigma^2}$$

例如，对于比例参数，请参见第 18 页，这是没有信息的，因为该先验是唯一在比例变化下保持不变的先验（请注意，近似值不是不变的）。这有一个不定积分$\log(\sigma^2)$这表明如果范围是不合适的$\sigma^2$包括$0$或者$\infty$. 但这些案例只是数学上的问题——而不是现实世界中的问题。永远不要真正观察到无限的方差值，如果观察到的方差为零，那么你就有了完美的数据！因为你可以设置一个下限等于$L>0$和上限相等$U<\infty$，并且您的分配是正确的。

虽然这可能看起来很奇怪，因为它更喜欢小方差而不是大方差，这“没有信息”，但这只是在一个尺度上。你可以证明$\log(\sigma^2)$具有不适当的均匀分布。所以这个先验不支持任何一个尺度而不是任何其他尺度

虽然与您的问题没有直接关系，但我建议通过选择上限和下限来“更好”的非信息分布$L$和$U$在杰弗里斯之前而不是$\alpha$和$\beta$. 通常，只要稍微考虑一下，就可以很容易地设置限制$\sigma^2$实际上意味着在现实世界中。如果是某种物理量的误差——$L$不能小于原子的大小，或者您在实验中可以观察到的最小尺寸。更远$U$不能比地球大（如果你想非常保守，也不能比太阳大）。这样您就可以保持不变性属性，并且在采样之前更容易：$q_{(b)} \sim \mathrm{Uniform}(\log(L),\log(U))$，然后模拟值为$\sigma^{2}_{(b)}=\exp(q_{(b)})$.

它非常接近平坦。它的中位数是 1.9 E298，几乎是双精度浮点运算中可以表示的最大数。正如您所指出的，它分配给任何不是很大的间隔的概率非常小。很难获得比这更少的信息！