让我们回忆一些事情。设是概率空间，是我们的样本集，是我们的 -代数，是定义在上的概率函数。随机变量是一个可测量的函数即中的任何 Lebesgue 可测量子集。如果你不熟悉这个概念，那么我之后所说的一切都没有任何意义。$(\Omega,A,P)$$\Omega$$A$$\sigma$$P$$A$$X:\Omega \to \mathbb{R}$$X^{-1}(S) \in A$$\mathbb{R}$

每当我们有一个随机变量时，它都会通过分类前推在上引入一个概率测度换句话说，。检查上的概率测度是微不足道的。我们称为的分布。$X:\Omega \to \mathbb{R}$$X'$$\mathbb{R}$$X'(S) = P(X^{-1}(S))$$X'$$\mathbb{R}$$X'$$X$

现在与这个概念相关的是函数变量的分布函数。给定一个随机变量我们定义。分布函数具有以下性质：$X:\Omega \to \mathbb{R}$$F(x) = P(X\leq x)$$F:\mathbb{R} \to [0,1]$

1. $F$是右连续的。

2. $F$不减

3. $F(\infty) = 1$和。$F(-\infty)=0$

显然，相等的随机变量具有相同的分布和分布函数。

反转这个过程并获得具有给定分布函数的度量是非常技术性的。假设给您一个分布函数。定义。你必须证明区间的半代数的度量。之后你可以应用Carathéodory扩展定理将上的概率测度。$F(x)$$\mu(a,b] = F(b) - F(a)$$\mu$$(a,b]$$\mu$$\mathbb{R}$

要回答对具有相同积分（即具有相同分布函数）的两个密度示例的请求，请考虑在实数上定义的这些函数：

 f(x) = 1 ; when x is odd integer
 f(x) = exp(-x^2)  ; elsewhere

进而;

 f2(x) = 1  ; when x is even integer
 f2(x) = exp(-x^2) ;  elsewhere

它们根本不相等 x，但都是相同分布的密度，因此密度不是由（累积）分布唯一确定的。当具有实域的密度仅在一组可数的 x 值上不同时，积分将相同。数学分析真的不适合胆小的人或确定具体的头脑。

我不同意您在开场问题中所说的“概率分布函数不能唯一地确定概率度量”的说法。它确实唯一地确定了它。

令是两个概率质量函数。如果， 对于任何可测集则几乎无处不在。这唯一地确定了 pdf（因为在分析中我们不关心他们是否在一组测量零上存在分歧）。$f_1,f_2:\mathbb{R}\to [0,\infty)$

我们可以将上面的积分重写为， 其中是一个可积函数。

定义，所以。我们使用众所周知的定理，如果非负函数的积分为零，则该函数几乎处处为零。特别是， ae 。所以 ae 在上。在另一个方向重复这个参数。。上得到 ae 。因此， ae 。$E = \{ x \in \mathbb{R} ~ | ~ g \geq 0 \}$$\int_E g = 0$$g=0$$E$$f_1 = f_2$$E$$F = \{ x\in \mathbb{R} ~ | ~ g \leq 0 \}$$f_1 = f_2$$F$$f_1 = f_2$$E\cup F = \mathbb{R}$