一种偏度度量是基于均值-中值-皮尔逊第二偏度系数。

偏度的另一种测量方法是基于相对四分位数差异 (Q3-Q2) 与 (Q2-Q1) 的比率，表示为比率

当 (Q3-Q2) 与 (Q2-Q1) 表示为差异（或等效地中间铰链中位数）时，必须对其进行缩放以使其无量纲（通常需要偏度测量），例如 IQR，如在这里（通过放置）。$u=0.25$

最常见的度量当然是第三矩偏度。

没有理由认为这三项措施必然是一致的。其中任何一个都可能与其他两个不同。

我们认为的“偏度”是一个有点模糊和定义不明确的概念。有关更多讨论，请参见此处。

如果我们用普通的 qqplot 看你的数据：

[那里标记的线仅基于前 6 个点，因为我想讨论后两个与那里的模式的偏差。]

我们看到最小的 6 个点几乎完全在线上。

然后第 7 个点位于该线下方（比左端相应的第二个点更靠近中间），而第 8 个点位于该线上方。

第 7 点表明轻微的左偏，最后一个，更强烈的右偏。如果忽略任何一点，偏斜的印象完全由另一点决定。

如果我不得不说是其中一个，我会称之为“右偏”，但我还要指出，这种印象完全是由于那个非常大的一点的影响。没有它，真的没有什么可以说它是正确的偏斜。（另一方面，如果没有第 7 点，它显然不是左偏。）

当我们的印象完全由单点决定时，我们必须非常小心，并且可以通过删除一个点来翻转。这不是继续下去的依据！

我首先假设使异常值“异常”的是模型（在一个模型上的异常值在另一种模型下可能非常典型）。

我认为在正态分布（高于平均值 3.72 sds）的 0.01 上百分位（1/10000）处的观察对于正态模型同样是异常值，因为在指数分布的 0.01 上百分位处的观察对于指数模型来说同样是异常值。（如果我们通过它自己的概率积分变换来变换一个分布，每个分布都会去相同的统一）

要查看将箱线图规则应用于中等偏右分布的问题，请模拟指数分布的大样本。

例如，如果我们从法线模拟大小为 100 的样本，我们平均每个样本的异常值少于 1 个。如果我们用指数来做，我们平均在 5 左右。但是没有真正的基础可以说更高比例的指数值是“异常的”，除非我们通过与（比如说）正常模型进行比较来做到这一点。在特定情况下，我们可能有特定的理由来制定某种特定形式的异常值规则，但是没有一般规则，这让我们有了像我在本小节中开始的一般原则 - 以自己的方式处理每个模型/分布（如果一个值对于模型来说并不异常，为什么在这种情况下称它为异常值？）

转到标题中的问题：

虽然它是一种非常粗糙的工具（这就是我查看 QQ 图的原因），但箱线图中有几个偏斜迹象 - 如果至少有一个点被标记为异常值，则可能（至少）三个：

在这个样本（n=100）中，外部点（绿色）标记了极值，中值表示左偏。然后栅栏（蓝色）表明（与中值结合时）表明右偏度。然后铰链（四分位数，棕色）与中位数结合表明左偏度。

正如我们所看到的，它们不必是一致的。您将关注的重点取决于您所处的情况（可能还有您的偏好）。

然而，关于箱线图有多粗糙的警告。此处最后的示例（包括对如何生成数据的描述）给出了具有相同箱线图的四种完全不同的分布：

正如您所看到的，存在一个相当偏斜的分布，所有上述偏斜指标都显示出完美的对称性。

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让我们从“鉴于这是一个箱线图，将一个点标记为异常值，您的老师期望得到什么答案？”的角度来看这个。

我们首先要回答“他们是否希望您评估不包括该点的偏度，或者将其包含在样本中？”。有些人会排除它，并评估剩余部分的偏度，就像 jsk 在另一个答案中所做的那样。虽然我对这种方法的某些方面存在争议，但我不能说它是错误的——这取决于具体情况。有些人会包括它（尤其是因为从正态性派生的规则排除了 12.5% 的样本似乎是一大步*）。

*想象一个人口分布是对称的，除了最右边的尾巴（我在回答这个问题时构造了一个这样的分布——正常，但最右边的尾巴是帕累托——但没有在我的回答中出现）。如果我抽取大小为 8 的样本，通常有 7 个观察值来自看起来正常的部分，一个来自上尾。如果我们在这种情况下排除标记为箱线图异常值的点，我们就排除了告诉我们它实际上是倾斜的点！当我们这样做时，保留在那种情况下的截断分布是左偏的，我们的结论将与正确的相反。

不，您没有错过任何内容：您实际上看到的不仅仅是所提供的简单摘要。 这些数据既有正偏斜也有负偏斜（在“偏斜”的意义上，表明数据分布中存在某种形式的不对称）。

John Tukey 通过他的“N 数总结”描述了一种探索批量数据不对称性的系统方法。箱线图是 5 个数字汇总的图形，因此可以进行这种分析。

箱线图显示 5 个数字的摘要：中位数$M$, 两个铰链$H^{+}$和$H^{-}$, 和极端$X^{+}$和$X^{-}$. Tukey 的广义方法的关键思想是选择一些统计量$T_i^{+}$反映批次的上半部分（基于等级或等价的百分位数），随着增加$i$对应更极端的数据。每个统计$T_i^{+}$有同行$T_i^{-}$通过在颠倒数据后计算相同的统计数据获得（例如，通过否定值）。在一个对称批次中，每对匹配的统计信息必须位于批次的中间（这个中心将与$M = M^{+}=M^{-}$）。因此，中间统计量的图$(T_i^{+} + T_i^{-})/2$随$i$提供图形诊断并可以提供不对称的定量估计。

要将这个想法应用于箱线图，只需画出每对对应部分的中点：中点（已经存在）、铰链的中点（框的末端，以蓝色显示）和极值的中点（以红色显示）。

在此示例中，中间铰链与中位数相比的较低值表明该批次的中间略有负偏（从而证实了问题中引用的评估，同时将其范围适当地限制在该批次的中间) 而中极值（高得多）表明该批次的尾部（或至少其极值）是正偏斜的（尽管仔细观察，这是由于单个高异常值）。尽管这几乎是一个微不足道的例子，但与单一“偏度”统计数据相比，这种解释的相对丰富性已经揭示了这种方法的描述能力。

通过少量练习，您不必绘制这些中间统计数据：您可以想象它们在哪里，并直接从任何箱线图中读取产生的偏度信息。

Tukey 的EDA（第 81 页）中的一个示例使用了 219 座火山（以数百英尺表示）高度的九个数字摘要。他称这些统计为$M$,$H$,$E$,$D$， 和$X$：它们（大致）对应于中间、上四分位数和下四分位数、八分位数、十六分位数和极值。我已按此顺序对它们进行了索引$i=1, 2, 3, 4, 5$. 下图中的左侧图是这些配对统计数据中点的诊断图。从加速的斜率来看，很明显，当我们伸手到它们的尾巴时，数据正变得越来越正向倾斜。

中图和右图显示了平方根（数据的平方根，而不是中间数统计数据的平方根！）和（以 10 为底的）对数。根值的相对稳定性（注意相对较小的垂直范围和中间倾斜的水平）表明这批 219 个值在其中间部分和其尾部的所有部分都变得近似对称，几乎将高度重新表示为平方根时的极值。这个结果是一个强有力的——几乎令人信服的——根据平方根继续进一步分析这些高度的基础。

除其他外，这些图揭示了数据不对称性的一些定量信息：在原始尺度上，它们立即揭示了数据的不同偏度（对使用单一统计量来表征其偏度的效用提出了相当大的怀疑），而在在平方根尺度上，数据接近于它们的中间对称——因此可以用五个数字的总结或等效的箱线图来简洁地总结。偏度再次在对数尺度上明显变化，表明对数过于“强”，无法重新表达这些数据。

将箱线图推广到七、九和更多数字的摘要很容易绘制。Tukey 称它们为“示意图”。如今，许多情节都具有类似的目的，包括QQ情节等备用情节以及“豆情节”和“小提琴情节”等相对新颖的情节。（即使是低直方图也可以用于此目的。）使用这些图中的点，可以以详细的方式评估不对称性，并对重新表达数据的方式进行类似的评估。

只要没有异常值，均值小于或大于中值是通常用于确定偏斜方向的捷径。在这种情况下，分布呈负偏态，但由于异常值，均值大于中值。