这取决于你在哪个领域，但是，随机矩阵研究的一大最初推动力来自原子物理学，由 Wigner 开创。您可以在此处找到简要概述。具体来说，正是随机矩阵的特征值（原子物理学中的能级）引起了很多人的兴趣，因为特征值之间的相关性让我们深入了解了核衰变过程的发射光谱。

最近，随着随机矩阵的最大特征值的Tracy-Widom分布的出现，以及与看似不相关的领域的惊人联系，例如平铺理论、统计物理学、可积系统, KPZ 现象,随机 组合, 甚至黎曼 假设. 您可以在此处找到更多示例。

对于更实际的示例，关于行向量矩阵的一个自然问题是它的 PCA 组件可能是什么样子。您可以通过假设数据来自某个分布，然后查看协方差矩阵特征值来获得启发式估计，这将根据随机矩阵普遍性进行预测：无论（在合理范围内）向量的分布，限制分布特征值将始终接近一组已知类。您可以将其视为随机矩阵的一种 CLT。有关示例，请参见本文。

您似乎对随机向量的应用感到满意。例如，我每天都在处理这种随机向量：不同期限的利率。联邦储备银行有H15系列，看4周、3个月、6个月和1年的国库券。您可以将这 4 个比率视为具有 4 个元素的向量。它也很随机，请查看下图中的历史值。

与任何随机数一样，我们可能会问自己：它们之间的协方差是什么？现在你得到 4x4 协方差矩阵。如果您根据一个月的每日数据进行估算，那么您每年会得到 12 个不同的协方差矩阵，前提是您希望它们不重叠。随机序列的样本协方差矩阵本身就是一个随机对象，见Wishart的论文《THE GENERALIZED PRODUCT MOMENT MOMENT DISTRIBUTION IN SAMPLES FROM A NORMAL MULTIVARIATE POPULATION》。在这里。有一个发行版以他的名字命名。

这是获取随机矩阵的一种方法。难怪随机矩阵理论（RMT）被用于金融，正如你现在所看到的。

在理论物理学中，随机矩阵在理解具有特定对称性的系统的能谱的普遍特征方面发挥着重要作用。

我的理论物理学背景可能会导致我在这里提出一个稍微有偏见的观点，但我什至会说随机矩阵理论（RMT）的流行源于它在物理学中的成功应用。

无需过多详细介绍，例如，可以通过计算系统哈密顿量的特征值来获得量子力学中的能谱 - 它可以表示为厄米特矩阵。物理学家通常对特定系统不感兴趣，但想知道具有混沌特性的量子系统的一般特性是什么，这导致厄米哈密顿矩阵的值随着能量或其他参数的变化而遍历填充矩阵空间（例如边界条件）。这促使将一类物理系统视为随机矩阵并查看这些系统的平均属性。如果您想深入研究，我推荐有关 Bohigas-Gianonni-Schmidt 猜想的文献。

简而言之，例如，可以证明具有时间反演对称性的系统的能级与没有时间反演对称性的系统的能级表现普遍不同（例如，如果添加磁场，就会发生这种情况）。事实上，使用高斯随机矩阵进行的相当短的计算可以表明，两个系统中的能级趋向于不同地接近。

这些结果可以扩展并有助于理解其他对称性，这些对称性对不同领域产生重大影响，例如粒子物理学或介观传输理论，后来甚至在金融市场中。

线性映射是向量空间之间的映射。假设您有一个线性映射，并为其域和范围空间选择了基。然后你可以写一个矩阵来编码线性映射。如果你想考虑这两个空间之间的随机线性映射，你应该提出一个随机矩阵理论。 随机投影就是这种事情的一个简单例子。

此外，物理学中有矩阵/张量值对象。粘性应力张量就是这样一种（在名副其实的动物园中）。在几乎均质的粘弹性材料中，将应变（弹性、粘性等）建模并因此将应力逐点建模为具有小方差的随机张量是有用的。尽管这种应力/应变有“线性映射”意义，但更诚实地将随机矩阵的这种应用描述为随机化已经是矩阵的东西。