下图直观地说明了为什么转换后的变量具有不同的分布：

我画了两条平行线。

• 在最低线上，我在处绘制了均匀间隔的点，它们代表速度。$0.1, 0.2, ..., 1.1, 1.2$$v$
• 在上面的线上，我根据公式绘制了点（注意我反转了左侧 1.2 和右侧 0 的轴）$t=0.1/v$

我已经绘制了连接不同点的线。您可以看到均匀分布的点没有转换为均匀分布的点$v$$t$，而是低值中的点比高值中的点更密集。

这种挤压也会发生在密度分布上。时间的分布不会与具有变换位置相反，您还会得到一个基于空间被拉伸或挤压多少的因素。$t$$v$

• 例如：区域分布在区域上，这是一个更大的区域。因此，落入特定区域的相同概率会分散到更大尺寸的区域上。$0.1 < v < 0.2$$0.5 < t <1$

• 另一个例子：区域被压缩到区域，这是一个较小的区域。因此，落入特定区域的相同概率会被压缩到尺寸较小的区域中。$0.4 < v < 0.5$$0.2 < t <0.25$

  在下图中这两个对应的区域和并且密度曲线下的区域是彩色的，两个不同颜色的区域具有相同的面积大小。$0.4 < v < 0.5$$0.2 < t <0.25$

因此，作为时间的分布，您不仅仅采用速度的分布，您可以在其中转换变量（这实际上已经使分布看起来与正态曲线不同，请参见图像中的绿色曲线），但您还考虑了概率质量在较大/较小区域上的传播/压缩。$g(t)$$f(v)$$v=0.1/t$

注意：我采用而不是，因为这使两个比例相同，并使两个密度的比较等效（当您挤压图像时，这会影响密度）。$t=0.1/v$$t = 100/v$

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查看更多关于转换的信息：

https://en.wikipedia.org/wiki/Random_variable#Functions_of_random_variables

更一般地，正态分布变量的倒数是：

$$t = a/v \quad \text{with} \quad f_V(v) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{1}{2}\frac{(v-\mu)^2}{\sigma^2}}$$

then

$$g_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \frac{a}{t^2} e^{-\frac{1}{2}\frac{(a/t-\mu)^2}{\sigma^2}}$$

you can find more about it by looking for the search term 'reciprocal normal distribution' https://math.stackexchange.com/search?q=reciprocal+normal+distribution

It is not the same as 'inverse Gaussian distribution', which relates to the waiting time in relation to Brownian motion with drift (which can be described by a Gaussian curve).

Yes, this is an instance of inverse Gaussian. It has been observed that there is an inverse relationship between the cumulant generating function of the time to cover a unit distance and the cumulant generating function of the distance covered in a unit time. Because the distance covered in a unit time (in this case, walking speed) is approximately normal, then the time to cover a unit distance (which is roughly the first-hitting time of 1-dimensional Brownian particle) is by definition approximately inverse Gaussian.