正如 vinux 指出的那样，一个人需要 A 和 B 的联合分布，OP的回答“我知道 A 和 B 的分布函数”中并不能明显看出他是说他知道 A 和 B 的联合分布：他可能可以说他知道 A 和 B 的边际分布。但是，假设 Mesko 确实知道联合分布，答案如下。$A$$B$

从 OP Mesko 评论中的卷积积分（顺便说一句，这是错误的），可以推断出 Mesko 对 具有联合概率密度函数的联合连续随机变量和感兴趣. 在这种情况下， 当和独立时，联合密度函数因数为边际密度函数的乘积：$A$$B$$f_{A,B}(a,b)$

$$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$$ $A$$B$$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ 我们得到了更熟悉的独立随机变量卷积公式。类似的结果也适用于离散随机变量。

和不是共同连续的，或者如果一个随机变量是连续的而另一个是离散的，则事情会更加复杂。然而，在所有情况下，总能找到 A+B 的累积概率分布函数作为平面区域中指定为并从分布函数计算概率密度函数，或概率质量函数，或其他任何东西。实际上，上述公式是通过将 写为指定区域上的联合密度函数的二重积分，然后“在积分符号下进行微分”获得的。$A$$B$$F_{A+B}(z)$$A+B$$\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$$F_{A+B}(z)$

事先，我不知道我所说的是否正确，但我陷入了同样的问题，我试图以这种方式解决它：

使用重质阶跃函数表示联合分布： 或等效地 现在您可以在不关心限制的情况下执行积分的整合。

$$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$$ $$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$$

这是关节的 wolfram 表示：A

计算我的积分：B

绘制：C

这就是函数： 它已标准化，您可以轻松检查。

$$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$$