机器算法验证 - 两个相关多元正态随机变量的线性组合 - 吾爱随笔录

两个相关多元正态随机变量的线性组合

机器算法验证可能性正态分布多项分布

2022-02-05 23:29:35

假设我们有两个随机变量向量，都是正态的，即 $X \sim N(\mu_X, \Sigma_X)$ 和 $Y \sim N(\mu_Y, \Sigma_Y)$ . 我们对它们的线性组合的分布感兴趣 $Z = A X + B Y + C$ ，在哪里 $A$ 和 $B$ 是矩阵， $C$ 是一个向量。如果 $X$ 和 $Y$ 是独立的， $Z \sim N(A \mu_X + B \mu_Y + C, A \Sigma_X A^T + B \Sigma_Y B^T)$ . 问题是在从属情况下，假设我们知道任何对的相关性 $(X_i, Y_i)$ . 谢谢你。

最良好的祝愿，伊万

2个回答

在这种情况下，你必须写（希望有清晰的符号）

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) \sim N [(\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}), Σ_{X, Y}]

$\left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right) \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right), \Sigma_{X,Y} \right]$ （编辑：假设联合正态性

(X, Y)

$(X,Y)$ ）然后

A X + B Y = (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

$AX+BY=\left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}X\\Y \end{matrix}\right)$ 和

A X + B Y + C \sim N [(\begin{matrix} A & B \end{matrix}) (\begin{matrix} μ_{X} \\ μ_{Y} \end{matrix}) + C, (\begin{matrix} A & B \end{matrix}) Σ_{X, Y} (\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix})]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[ \left(\begin{matrix}A& B \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}\mu_X\\\mu_Y\end{matrix}\right) + C, \left(\begin{matrix}A & B \end{matrix}\right)\Sigma_{X,Y} \left(\begin{matrix}A^T \\ B^T \end{matrix}\right)\right]$ IE

A X + B Y + C \sim N [A μ_{X} + B μ_{Y} + C, A Σ_{X X} A^{T} + B Σ_{X Y}^{T} A^{T} + A Σ_{X Y} B^{T} + B Σ_{Y Y} B^{T}]

$AX+BY+C \sim \mathcal{N}\left[A\mu_X + B\mu_Y +C, A\Sigma_{XX}A^T+B\Sigma_{XY}^TA^T+A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{YY}B^T \right]$

您的问题没有目前提出的唯一答案，除非您假设 $X$ 和 $Y$ 与协方差右上角块联合正态分布 $\Sigma_{XY}$ . 我认为您确实是这个意思，因为您说您在 X 和 Y 之间具有每个协方差。在这种情况下，我们可以写 $W=(X^T,Y^T)^T$ 这也是多元正态的。然后 $Z$ 是根据 $W$ 作为：

Z = (A, B) W + C

$Z=(A,B)W+C$

然后，您使用通常的公式进行线性组合。请注意，均值不变，但协方差矩阵添加了两个额外项 $A\Sigma_{XY}B^T+B\Sigma_{XY}^TA^T$

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