对于任何 $n$ 随机变量 $X_i$ ，最好的一般界限是 $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ 如所述原来的问题。这是一个证明草图：如果 X,Y 是 IID，则 $E[(XY)^2] =2\Var(X)$。给定一个可能因变量 $(X_1,\ldots ,X_n)$ 的向量，令 $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ 是具有相同联合分布的独立向量。对于任何 $r>0$，我们有 $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$，并将这个 $dr$ 从 $0$ 积分到 $\infty$ 产生所声称的不等式。$n$ random variables $X_i$ , the best general bound is $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ as stated in the original question. Here is a proof sketch: If X,Y are IID then $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$. Given a vector of possibly dependent variables $(X_1,\ldots ,X_n)$, let $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ be an independent vector with the same joint distribution. For any $r>0$, we have by the union bound that $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$, and integrating this $dr$ from $0$ to $\infty$ yields the claimed inequality.

如果$X_i$ 是概率事件$\epsilon$ 的IID 指标，那么$\max X_i$ 是概率事件$n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ 的指标。固定 $n$ 并让 $\epsilon$ 趋于零，我们得到 $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ 和 $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2 \epsilon^2)$。$X_i$ are IID indicators of events of probability $\epsilon$, then $\max X_i$ is an indicator of an event of probability $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$. Fixing $n$ and letting $\epsilon$ tend to zero, we get $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ and $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$.

MathOverflow 上的一个问题与这个问题有关。

对于 IID 随机变量，$k$th 最高的称为顺序统计量。$k$th highest is called an

即使对于 IID Bernoulli 随机变量，除中位数之外的任何阶统计量的方差都可能大于总体方差。例如，如果 $X_i$ 为 $1$，概率为 $1/10$，$0$，概率为 $9/10$，$M=10$，则最大值为 $1$，概率为 $\约 1-1/e$，所以总体方差为 0.09 美元，而最大值的方差约为 0.23 美元。$X_i$ is $1$ with probability $1/10$ and $0$ with probability $9/10$ and $M=10$, then the maximum is $1$ with probability $\approx 1- 1/e$, so the variance of the population is $0.09$ while the variance of the maximum is about $0.23$.

这里有两篇关于订单统计方差的论文：

Yang, H. (1982) “关于中位数和其他一些阶数统计的方差”。公牛。研究所。数学。学院派。Sinica, 10(2) pp. 197-204

Papadatos, N. (1995) “订单统计的最大方差”。安。研究所。统计学家。数学，47（1）第 185-193 页

我相信第二篇论文中最大值方差的上限是 $M\sigma^2$。他们指出不可能发生相等，但对于 IID Bernoulli 随机变量，可能会出现任何较低的值。$M\sigma^2$. They point out that equality can't occur, but any lower value can occur for IID Bernoulli random variables.